【大高考】（五年高考）2022届高考数学复习第十四章不等式选讲文（全国通用）考点 不等式的解法及证明1．(2022·陕西，15A)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．解析 由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，将已知代入得m2＋n2≥5⇒≥.答案 2．(2022·江西，15)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．解析 因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，当且仅当x(x－1)≤0，即0≤x≤1时取等号，|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当y(y－1)≤0，即0≤y≤1时取等号，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥1＋1＝2.又已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，0≤x≤1且0≤y≤1，所以0≤x＋y≤2.答案 [0，2]3．(2022·陕西，15A)设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．解析 ∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|(a－x)＋(x－b)|＝|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x－b|＞2对x∈R恒成立．故解集为(－∞，＋∞)．答案 (－∞，＋∞)4．(2022·陕西，15A)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析 由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x到a点与1点的距离的和小于等于3.由图可得－2≤a≤4.]答案 [－2，4]5．(2022·陕西，15A)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析 法一 ∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴使原不等式成立的a的取值范围是a≤3.5\n法二 |x＋1|＋|x－2|表示数轴上一点A(x)到B(－1)与C(2)的距离之和，而|BC|＝3，∴|AB|＋|AC|≥3.∴a≤3.法三 设f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)的图象如图所示，∴f(x)≥3.∴a≤3.答案 (－∞，3]6．(2022·新课标全国Ⅱ，24)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．解 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．7．(2022·江苏，21(D))解不等式x＋|2x＋3|≥2.解 原不等式可化为或解得x≤－5或x≥－.综上，原不等式的解集是.5\n8．(2022·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．9．(2022·陕西，24)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解 (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则解得a＝－3，b＝1.(2)＋＝＋≤＝2＝4，当且仅当＝，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.10．(2022·新课标全国Ⅰ，24)若a＞0，b＞0，且＋＝.5\n(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解 (1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.11．(2022·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．(1)证明 由a＞0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解 f(3)＝|3＋|＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5得＜a≤3.综上，a的取值范围是.12．(2022·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解 (1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝从图象可知，当且仅当x∈(0，2)时，y＜0.5\n所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈都成立．故－≥a－2，即a≤.从而a的取值范围是.13．(2022·新课标全国Ⅱ，24)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，得a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.5
