专题突破练26 不等式选讲(选修4—5)1.(2022全国卷2,23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.2.已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.7\n3.(2022云南昆明二模,23)已知函数f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤x的解集;(2)当x≥时,f(x)+x2>1,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.5.(2022广西三模,23)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|-2.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≥a2-a-2在R上恒成立,求实数a的取值范围.7\n6.(2022河北唐山三模,23)已知函数f(x)=|x-1|-|2x-3|.(1)求不等式f(x)≥0的解集;(2)设g(x)=f(x)+f(-x),求g(x)的最大值.7.(2022河南郑州三模,23)已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.(1)证明:2a+b=2;(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.7\n8.(2022山东潍坊一模,23)设函数f(x)=|ax+1|+|x-a|(a>0),g(x)=x2+x.(1)当a=1时,求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)已知f(x)≥,求a的取值范围.参考答案专题突破练26 不等式选讲(选修4—5)1.解(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,当a=b时取等号,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.3.解(1)当a=1时,不等式f(x)≤x,即为|x+1|-|x-1|≤x,等价于解得-2≤x≤-1或-1<x≤0或x≥2.7\n故不等式f(x)≤x的解集为[-2,0]∪[2,+∞).(2)当x≥时,f(x)+x2>1⇔|ax-1|<x2+x,由|ax-1|<x2+x,得-x+-1<a<x++1.当x≥时,x++1的最小值为3,-x+-1的最大值为,故a的取值范围是,3.4.解(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立.故-≥a-2,即a≤.从而a的取值范围是.5.解(1)当x≤-1时,不等式等价于1-x-x-1-2≥1,解得x≤-;当-1<x<1时,不等式等价于1-x+x+1-2≥1,不等式无解;当x≥1时,不等式等价于x-1+x+1-2≥1,解得x≥.7\n综上,不等式f(x)≥1的解集为.(2)f(x)=|x-1|+|x+1|-2≥|x-1-(x+1)|-2=0,∵关于x的不等式f(x)≥a2-a-2在R上恒成立,∴a2-a-2≤0恒成立,解得-1≤a≤2.∴实数a的取值范围是[-1,2].6.解(1)由题意得|x-1|≥|2x-3|,所以|x-1|2≥|2x-3|2.整理可得3x2-10x+8≤0,解得≤x≤2,故原不等式的解集为.(2)显然g(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,所以只研究x≥0时g(x)的最大值.g(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|-|2x-3|+|x+1|-|2x+3|,所以x≥0时,g(x)=|x-1|-|2x-3|-x-2=所以当x=时,g(x)取得最大值-3,故x=±时,g(x)取得最大值-3.7.(1)证明∵-a<,∴f(x)=显然f(x)在-∞,-上单调递减,在,+∞上单调递增,所以f(x)的最小值为f=a+=1,即2a+b=2.(2)解因为a+2b≥tab恒成立,所以≥t恒成立,(2a+b)=5+≥5+2=,7\n当且仅当a=b=时,取得最小值,所以t≤,即实数t的最大值为.8.解(1)当a=1时,不等式g(x)≥f(x)即x2+x≥|x+1|+|x-1|,当x<-1时,x2+x≥-2x,x2+3x≥0,∴x≥0或x≤-3,∴此时x≤-3,当-1≤x≤1时,x2+x≥2,x2+x≥0,∴x≥1或x≤-2,∴此时x=1,当x>1时,x2+x≥2x,x2-x≥0,∴x≥1或x≤0,此时x>1,∴不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.(2)f(x)=|ax+1|+|x-a|=若0<a≤1,则f(x)min=f(a)=a2+1,∴a2+1≥,解得a≥或a≤-,∴≤a≤1,若a>1,则f(x)min=f-=a+>2>,∴a>1.综上所述,a≥.7
