第二节 空间几何体的表面积与体积考点一 空间几何体的表面积1.(2022·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A.1B.2C.4D.8解析 由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝2.答案 B2.(2022·新课标全国Ⅱ，10)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π解析 如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大＝VCOAB最大＝×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.选C.答案 C3.(2022·安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋B.1＋2C.2＋D.2解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.∴其表面积S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故选C.答案 C10\n4.(2022·陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π解析 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.答案 C5.(2022·山东，13)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.解析 由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为＝2，故该六棱锥的侧面积为×12×2＝12.答案 126.(2022·新课标全国Ⅰ，15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________.解析 平面α截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得OH＝R，由圆H的面积为π，得圆H的半径为1，所以()2＋12＝R2，得出R2＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π·＝.答案 7.(2022·新课标全国Ⅱ，15)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.解析 如图所示，在正四棱锥OABCD中，VOABCD＝×S正方形ABCD·|OO1|＝×()2×|OO1|＝，∴|OO1|＝，|AO1|＝，在Rt△OO1A中，OA＝10\n＝＝，即R＝，∴S球＝4πR2＝24π.答案 24π考点二 几何体的体积1.(2022·新课标全国Ⅰ，6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析 由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积V＝×πR2·h＝(立方尺).所以堆放的米大约为≈22(斛).答案 B2.(2022·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.B.C.D.解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝＝＝.选D.答案 D3.(2022·山东，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B.10\nC.2πD.4π解析 如图，设等腰直角三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，则AB＝2.设D为AB中点，则BD＝AD＝CD＝.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V＝2××π×()2×＝.答案 B4.(2022·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )A.B.C.D.解析 欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上.圆锥体积V1＝π×12×2＝π.作几何体截面图，则内接正方体棱长a＝.∴正方体体积V2＝a3＝＝，∴＝×＝.故选A.答案 A5.(2022·新课标全国Ⅱ，7)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为( )10\nA.3B.C.1D.解析 由题意可知AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin60°＝，所以VAB1DC1＝AD·S△B1DC1＝×××2×＝1，故选C.答案 C6.(2022·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30解析 此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为6×5－×6×3＝24，选择C.答案 C7.(2022·新课标全国Ⅰ，11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16＋8πB.8＋8πC.16＋16πD.8＋16π解析 由三视图分析可知，几何体由底面半径为2，高为4的半圆柱和长、宽、高分别为2，4，2的长方体组合而成，V＝×4×4π＋2×4×2＝16＋8π，由三视图准确得出几何体的形状是解题的关键.答案 A8.(2022·浙江，5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )10\nA.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3解析 结合三视图可得几何体的直观图如图所示，其体积V＝VABCDA1B1C1D1－VD1A1EF，由三视图可得VABCDA1B1C1D1＝6×6×3＝108(cm3)，VD1A1EF＝××4×4×3＝8(cm3)，∴V＝100cm3.答案 B9.(2022·四川，14)在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________.解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵VPA1MN＝VA1PMN，又∵AA1∥平面PMN，∴VA1PMN＝VAPMN，∴VAPMN＝××1××＝，故VPA1MN＝.答案 10.(2022·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.10\n解析 由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2m、高为2m的圆锥，下面是底面圆的半径为1m、高为4m的圆柱，所以该几何体的体积是×4π×2＋4π＝(m3).答案 11.(2022·北京，10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________.解析 由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V＝×3×3×1＝3，故该棱锥的体积为3.答案 312.(2022·天津，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为，则正方体的棱长为________.解析 由题意知V球＝πR3＝，R＝.设正方体的棱长为a，则a＝2R，a＝，所以正方体的棱长为.答案 10\n13.(2022·山东，13)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为________.解析 由正方体的性质知B1C∥平面AA1D1D，∴E到平面AA1D1D的距离等于C到平面AA1D1D的距离，于是三棱锥ADED1的体积即为三棱锥EAD1D的体积，也是三棱锥CAD1D的体积.∵S△AD1D＝，∴VCAD1D＝S△AD1D·CD＝××1＝.答案 14.(2022·新课标全国Ⅱ，19)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解 (1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).15.(2022·湖南，18)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积.(1)证明 ∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解 设AB中点为M，连接CM，则CM⊥AB，由平面A1ABB1⊥平面ABC且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，10\n∴∠CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.∴∠CA1M＝45°，易知CM＝×2＝，在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝，在Rt△A1AM中，A1A＝＝.∴FC＝A1A＝，又S△AEC＝××4＝，∴V三棱锥FAEC＝××＝.16.(2022·广东，18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积.(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，且PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，∵CF⊂平面PCD，∴AD⊥CF，又MF⊥CF，MF∩AD＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)解 ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，又CD＝AB＝1，PC＝2，∴PD＝.由(1)知CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF.∴由S△PCD＝PD×CD＝PC×DF得DF＝，∴CF＝＝，10\n∵EF∥CD，∴＝，∴DE＝×DP＝.∴S△CDE＝CD×DE＝×1×＝.∵AD⊥平面PCD，即MD⊥平面CDE，且ME＝PE＝PD－ED＝，∴MD＝＝＝，∴三棱锥MCDE的体积为VMCDE＝S△CDE×MD＝××＝.17.(2022·重庆，19)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥PBDF的体积.(1)证明 因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)解 三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×sin＝.由PA⊥底面ABCD，得VPBCD＝·S△BCD·PA＝××2＝2.由PF＝7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCD＝·S△BCD·PA＝×××2＝，所以VPBDF＝VPBCD－VFBCD＝2－＝.10
