考点一 几何体的表面积1．(2022·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.答案 D2.(2022·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A．1＋B．2＋C．1＋2D．2解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故选B.答案 B3．(2022·新课标全国Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36πB．64πC．144πD．256π9\n解析 如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO－ABC最大＝VC－OAB最大＝×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π，选C.答案 C4．(2022·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．54B．60C．66D．72解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S＝×3×4＋×3×5＋×5＋×4＋3×5＝60.选B.答案 B5．(2022·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S＝3×5＋2××4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm2)．答案 D6．(2022·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )9\nA.B．16πC．9πD.解析 设球的半径为R，由题意可得(4－R)2＋()2＝R2，解得R＝，所以该球的表面积为4πR2＝.故选A.答案 A7．(2022·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A．21＋B．18＋C．21D．18解析 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－×1×1)＋2××()2＝6×＋＝21＋.故选A.答案 A8．(2022·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S＝2××(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋]×4＝92.答案 92考点二 几何体的体积1．(2022·山东，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD9\n绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B.C.D．2π解析 如图，由题意，得BC＝2，AD＝AB＝1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V＝π×12×2－π×12×1＝π.答案 C2．(2022·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.答案 A3．(2022·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.B.C.D.解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD－A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A－A1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为9\n＝＝＝，选D.答案 D4．(2022·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)( )A.B.C.D.解析 易知原工件为一圆锥，V1＝πr2h＝π，设内接长方体长、宽、高为a、b、c，欲令体积最大，则a＝b.由截面图的相似关系知，c＋＝2，即c＋a＝2，∴V长方体＝abc＝a2c＝a2(2－a)，设g(a)＝2a2－a3，则g′(a)＝4a－3a＝0，令g′(a)＝0，解得a＝，所以令a＝时，V长方体最大为，∴＝＝.故选A.答案 A5．(2022·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )9\nA.B．4πC．2πD.解析 如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC＝，∴对角面ACC1A1为正方形，∴外接球直径2R＝A1C＝2，∴R＝1，∴V球＝，故选D.答案 D6．(2022·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.B.C.D.解析 圆锥的体积V＝πr2h＝πh＝，由题意得12π≈，π近似取为，故选B.答案 B7．(2022·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.B.C.D.解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2cm，高为4cm；另一个圆柱的底面半径为3cm，高为2cm.则零件的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm3)．而毛坯的体积V＝π×32×6＝54π(cm3)，因此切削掉部分的体积V2＝V－V1＝54π－34π＝20π(cm3)，所以＝＝.故选C.答案 C8．(2022·新课标全国，11)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，9\n△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A.B.C.D.解析 如图，H为△ABC的外接圆圆心，则∠BHC＝120°，设△ABC的外接圆半径为r，则1＝BC2＝HC2＋HB2－2HC·HB·cos120°＝3r2，∴r＝.连接OH，根据球的截面性质知，OH⊥平面ABC，∴OH＝＝＝.∵O为SC的中点，∴S到平面ABC的距离为2OH＝，∴VSABC＝S△ABC×＝××＝.答案 A9．(2022·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案 10．(2022·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．解析 设圆柱甲的底面半径为r1，高为h1，圆柱乙的底面半径为r2，高为h2.由题意得＝＝，∴＝.又∵S甲侧＝S乙侧，即2πr1h1＝2πr2h2，∴＝＝，故＝＝·＝×＝.9\n答案 11.(2022·江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析 由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝＝1∶24.答案 1∶2412．(2022·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6m，3m，1m的长方体，底部为两个直径为3m的球．故该几何体的体积为V＝6×3×1＋2×π×＝18＋9π(m3)．答案 18＋9π13．(2022·湖南，18)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积．解 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h)．(1)证明 易知＝(－4，2，0)，9\n＝(2，4，0)，＝(0，0，h)．因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，即＝.由(1)知，＝(－4，2，0)，＝(0，0，－h)．又＝(4，0，－h)，故＝解得h＝.又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥PABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.9
