第二节 空间几何体的表面积与体积A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2022·沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A.4，8B.4，C.4(＋1)，D.8，8解析 由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，因此，其侧面积为××2×4＝4，其体积为×22×2＝.答案 B2.(2022·湖北八校联考)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( )A.B.4C.D.3解析 该截面将正方体分成两个完全相同几何体，因此该几何体的体积为×23＝4.答案 B二、填空题6\n3.(2022·四川广安诊断)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________.解析 S△EBC＝，VP－EBC＝×2×＝.答案 4.(2022·河南方城一中第一次调研)已知正四棱锥的底边长和侧棱长均为3，则该正四棱锥的外接球的表面积为________.解析 ∵正四棱锥的底边长和侧棱长均为3，∴此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面，故外接球半径长是3，∴该正四棱锥的外接球的表面积为4π×32＝36π.答案 36π一年创新演练5.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的半径是________cm，表面积是________cm2.解析 设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，r2＝(r－2)2＋36，解得r＝10.所以表面积为4πr2＝4π×100＝400π.答案 10 400π6.已知一轴截面为锐角三角形的圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是(0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于________.解析 过圆锥顶点的截面面积最大时该截面通过轴线，设轴截面三角形的顶角为θ，则·4·4·sinθ＝4，解得sinθ＝，所以θ＝，所以圆锥底面半径r＝2，故该圆锥侧面展开图的扇形圆心角α＝＝＝π.答案 πB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·厦门市质检)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，6\n则三棱锥D1B1C1E的体积等于( )A.B.C.D.解析 VD1B1C1E＝S△B1C1E·D1C1＝××1×1×1＝.答案 D8.(2022·忻州四校联考)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )A.B.3C.4D.解析 由三视图知几何体为正方体切去一个棱台，且切去棱台的下底面直角三角形的直角边长为1，其直观图如图：∴截面为等腰梯形，且两底边长分别为，2，腰长为，∴梯形的高为＝，∴截面面积S＝×＝.故选A.答案 A9.(2022·东北三校联考)点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为( )6\nA.B.8πC.D.解析 如图所示，O为球的球心，由AB＝BC＝，AC＝2可知∠ABC＝，即△ABC所在的小圆的圆心O1为AC的中点，故AO1＝1，S△ABC＝1，当D为O1O的延长线与球面的交点时，D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大.连接OA，设球的半径为R，则DO1＝R＋，此时VABCD＝×S△ABC×DO1＝(R＋)＝，解得R＝，故这个球的表面积为4π＝.答案 C二、填空题10.(2022·豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________.解析 由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台＝×(π×AD2＋＋π×BC2)×AB＝×π×(AD2＋AD×BC＋BC2)×AB＝×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝π×AD3×＝π×23×＝π(cm3)，所以旋转所形成的几何体的体积V＝V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3).答案 πcm36\n一年创新演练11.圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.解析 设实心铁球的半径为R，则R3＝π×102×，得R＝5cm，故这个铁球的表面积为S＝4πR2＝100π(cm2).答案 100π12.在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝，AD＝DE＝2，G为AD的中点.(1)在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并加以证明；(2)求三棱锥GBCE的体积.解 (1)由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，设F是CE的中点，H是CD的中点，连接BF，FH，AH，∴FH∥ED，FH＝ED.∵AB＝1，DE＝2，∴AB＝DE，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH.∵AH⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，∴BF∥平面ACD.(2)∵DE⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，在平面ACD内，作CF⊥AD于P，∵平面ABED∩平面ACD＝AD，∴CP⊥平面ABED，∴CP为三棱锥CBGE的高，∵VGBCE＝VCBGE＝S△BGE·CP，且S△BGE＝S梯形ABED－S△ABG－S△EDG＝，6\n由三角形的等面积法得CP＝，∴VGBCE＝VCBGE＝S△BGE·CP＝.6
