考点 基本不等式1.(2022·湖南，7)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )A.B.2C.2D.4解析 由＋＝，知a＞0，b＞0，由于＋≥2，∴≥，∴ab≥2.故选C.答案 C2.(2022·福建，5)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 由题意＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝2时，取等号.故选C.答案 C3.(2022·陕西，10)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A.q＝r＜pB.q＝r＞pC.p＝r＜qD.p＝r＞q解析 ∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)4\n＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.答案 C4.(2022·重庆，9)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解析 因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，选择D.答案 D5.(2022·福建，9)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析 设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160(当且仅当x＝，即x＝2时取等号).所以该容器的最低总造价为160元.故选C.答案 C6.(2022·山东，12)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )A.0B.C.2D.解析 ＝＝－3＋≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立.此时z＝2y2，∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.4\n答案 C7.(2022·陕西，10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )A.a＜v＜B.v＝C.＜v＜D.v＝解析 v＝－＝(a＜b)，所以a＜v＜.故选A.答案 A8.(2022·陕西，3)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )A.a＜b＜＜B.a＜＜＜bC.a＜＜b＜D.＜a＜＜b解析 因为0＜a＜b，所以a＜＜b，故A、C错误；－a＝(－)＞0，即＞a，故选B.答案 B9.(2022·天津，12)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值.解析 log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤＝＝＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.答案 410.(2022·浙江，12)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________.解析 因为f(x)＝∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－.当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.当x＞1时，f(x)＝x＋－6≥2－6，当且仅当x＝时“＝”成立.∵2－6＜0，∴f(x)的最小值为2－6.4\n答案 － 2－611.(2022·山东，14)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.解析 由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号.答案 12.(2022·浙江，16)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析 由a＋b＋c＝0，得a＝－b－c，则a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2)，又a2＋b2＋c2＝1，所以3a2≤2，解得－≤a≤.所以amax＝.答案 13.(2022·天津，14)设a＋b＝2，b＞0，则＋的最小值为________.解析 因为a＋b＝2，所以＝1，＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当b＝2|a|时，等号成立，当a＞0时，＋1＝，故＋≥；当a＜0时，＋1＝，＋≥.综上可得最小值为.答案 4
