第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件考点一 四种命题及其关系1．(2022·山东，5)若m∈R,命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析 原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案 D2．(2022·四川，15)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．解析 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①：从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确；对于②：直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③：由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，∴2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④：由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，5\n令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2xln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，得m＝－n.故①④正确．答案 ①④3．(2022·陕西，8)原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析 从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案 A4．(2022·陕西，6)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是纯虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜0解析 由复数的运算可知若z2≥0，则z一定是实数，A是真命题；若z2＜0，则z一定是纯虚数，B是真命题；若z是虚数，则z2可能还是虚数，则不能与0比较大小，C是假命题；若z是纯虚数，则z2＜0，所以D是真命题．答案 C5．(2022·湖南，3)命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是( )A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α＝解析 根据逆否命题的定义可知C正确．答案 C6．(2022·陕西，1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A．若a≠－b，则|a|≠|b|5\nB．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析 根据逆命题的定义将原命题的条件和结论互换即可．答案 D考点二 充分条件与必要条件1．(2022·天津，4)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3⇒/1＜x＜2，故选A.答案 A2．(2022·重庆，2)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析 解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．答案 A3．(2022·福建，12)“对任意x∈，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 ∀x∈，ksinxcosx＜x⇔∀x∈，k＜，令f(x)＝2x－sin2x.∴f′(x)＝2－2cos2x＞0，∴f(x)在为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0.∴2x＞sin2x，∴＞1，∴k≤1，故选B.答案 B4．(2022·安徽，3)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析 ∵x<3⇒－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p是q的必要不充分条件，故选C.答案 C5．(2022·陕西，6)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的( )5\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 ∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇒/sinα＝cosα，故选A.答案 A6．(2022·湖南，3)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 由x＞1知，x3＞1；由x3＞1可推出x＞1.故选C.答案 C7．(2022·浙江，3)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故充分性不成立；当a＝－1，b＝－2时，ab＞0，而a＋b＜0.故必要性不成立．故选D.答案 D8．(2022·新课标全国Ⅱ，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.答案 C9．(2022·北京，5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但不满足a2＞b2，即条件“a＞b”不能推出结论“a2＞b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2＞b2，但不满足a＞b，即结论“a2＞b2”不能推出条件“a＞b”．故选D.答案 D5\n10．(2022·广东，7)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解析 由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sinA≤sinB，选A.答案 A11．(2022·安徽，4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0.故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．答案 B12．(2022·福建，2)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 当x＝2且y＝－1时，点P在直线l：x＋y－1＝0上成立；反之则不成立．答案 A13．(2022·湖北，9)设a，b，c∈R，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件解析 由abc＝1，得a＋b＋c≥＋＋＝＋＋，反之不成立，故选A.答案 A5
