A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·广东汕头模拟)函数y＝cos图象的两条相邻对称轴间的距离为( )A.B.C.D．π解析 函数的周期为T＝＝，两条相邻对称轴间的距离为半个周期，即.答案 B2．(2022·辽宁丹东模拟)设函数f(x)＝sin－cos，且其图象关于y轴对称，则函数y＝f(x)的一个单调递减区间是( )A.B.C.D.解析 因为f(x)＝sin－cos＝2sin的图象关于y轴对称，所以θ＝－，所以f(x)＝－2cosx在递减，故选C.答案 C3．(2022·河北正定模拟)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期为π，则( )A．f(x)的图象过点B．f(x)在上是减函数C．f(x)的一个对称中心是D．将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到y＝2sinωx的图象解析 因为设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象关于直线x＝对称，它的周期为π，所以φ＝，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)(ω>0，－<φ<)，8\n因为f＝0，所以f(x)的一个对称中心是，故选C.答案 C4．(2022·湖北黄冈调考)已知函数f(x)＝2sin(x＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为( )A．－2B．2C．－D.解析 由题意得f＝2sin＝2，＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋－＝2kπ－，其中k∈Z.因此f＝2sin＝2sin＝2sin＝2，选B.答案 B5．(2022·广东汕头4月模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析 由图象知＝－＝，T＝π，ω＝2，A＝1.当x＝时，2x＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵|φ|＜，∴φ＝.f(x)＝sing(x)＝cos2x，故选D.答案 D二、填空题6．(2022·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋18\n的最大值为3，f(x)的图象与y轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝________．解析 函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0，0<φ<)的最大值为3，所以A＝2，其相邻的两条对称轴的距离为2，所以ω＝，所以f(x)＝2cos2＋1＝cos＋2(A>0，ω>0，0<φ<)，又f(x)的图象与y轴交点坐标为(0，2)，所以φ＝，f(x)＝－sinx＋2，而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，且周期为4，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝503×8＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4030.答案 40307．(2022·河南南阳一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝________．解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函数图象过点，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin.答案 sin8．(2022·广东珠海质检)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析 由题意得∴∴y＝23＋5cos，x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.答案 20.58\n一年创新演练9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)－sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，且其图象相邻的两条对称轴为x1＝0，x2＝，则( )A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数解析 由已知条件得f(x)＝2cos，由题意得＝，∴T＝π，∵T＝，∴ω＝2.又∵f(0)＝2cos，x＝0为f(x)图象的对称轴，∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|＜，∴φ＝－，此时f(x)＝2cos2x，它在上为减函数，故选B.答案 BB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题10．(2022·河北衡水中学模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω＝( )A.B.C.πD.π解析 由题中图象知＝－，∴T＝π，∴ω＝2.则M，N，由·＝0，得＝A2，∴A＝π，∴A·ω＝π.故选C.答案 C11．(2022·温州模拟)定义行列式运算)＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移n(n＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )8\nA.B.C.D.解析 依题意可得f(x)＝＝cosx－sinx＝2cos，图象向左平移n(n＞0)个单位得f(x＋n)＝2cos，要使平移后的函数为偶函数，则n的最小值为，故选C.答案 C二、填空题12．(2022·金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时长为________小时．解析 依题意得A＝0.5，b＝1，ω＝，所以y＝0.5cost＋1.令y＝0.5cost＋1＞1.25(t∈[0，24])得cost＞.又t∈[0，24]，t∈[0，4π]，因此0≤t＜或＜t≤2π或2π≤t＜2π＋或2π＋＜t≤2π＋2π，即0≤t＜2或10＜t≤12或12≤t＜14或22＜t≤24，在一日内，海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．答案 8三、解答题13(2022·皖南八校三模)已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．解 (1)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1＝8\n1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin.由题意可知函数的周期T＝＝π，即ω＝1，所以f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)g(x)＝f＝2sin＝2sin，则g(x)的最大值为2，此时有2sin＝2，即sin＝1，即2x＋＝2kπ＋，其中k∈Z.解得x＝kπ＋(k∈Z)，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为.14．(2022·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝sin·cos＋sin2(ω＞0，0＜φ＜)，其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，S△ABC＝2，角C为锐角，且满足f＝，求边c的值．解 (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋＝sin＋.∵两个相邻对称中心的距离为，∴T＝π.由＝π，ω＞0，得ω＝2.又f(x)过点，∴sin＋＝1，得cosφ＝.又∵0＜φ＜，∴φ＝.∴f(x)＝sin＋.(2)∵f＝，得：sinC＋＝，∴sinC＝.∵角C为锐角，∴cosC＝.8\n又∵a＝，S△ABC＝absinC＝··b·＝2，∴b＝6.由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC＝5＋36－2··6·＝21，∴c＝.一年创新演练15．如图是某市在城市改造中沿市内主干道季华路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100m．其与季华路一边所在直线l相切于点M，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)．(1)以∠AON＝θrad为参数，将S表示成θ的函数；(2)试确定当绿化的面积最大时点A的位置及其最大面积．解 (1)如题图，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．则S＝MB·AB＝×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝或cosθ＝－1(舍去)，此时θ＝.当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：θS′＋0－S极大值所以，当θ＝时，S取得最大值Smax＝3750m2，此时AB＝150m，即点A到季华路一边的距离为150m.8\n16．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx1x2x3ωx＋φ0π2πAsin(ωx＋φ)020－20(1)求x1，x2，x3的值及函数f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，可得到函数g(x)的图象，求函数y＝f(x)·g(x)在区间的最小值．解 (1)由ω＋φ＝0，ω＋φ＝π可得：ω＝，φ＝－.由x1－＝；x2－＝；x3－＝2π可得：x1＝，x2＝，x3＝.又∵Asin＝2，∴A＝2.∴f(x)＝2sin.(2)由f(x)＝2sin的图象向左平移π个单位，得g(x)＝2sin＝2cos的图象，∴y＝f(x)·g(x)＝2×2sin·cos＝2sin，∵x∈时，x－∈，∴当x－＝－时，即x＝时，ymin＝－2.8
