A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·山东滨州模拟)设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则x1＋x2的值为( )A.B.C．3D.解析 由E(ξ)＝，D(ξ)＝，得解得或由于x1<x2，∴∴x1＋x2＝3.答案 C2．(2022·福建福州调研)已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为( )ξ1234PmnA.B.C.D.解析 η＝4ξ－2⇒E(η)＝4E(ξ)－2⇒7＝4·E(ξ)－2＝7⇒E(ξ)＝⇒＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得n＝，应选A.7\n答案 A3．(2022·江苏苏州调考)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，则E(ξ)＝( )A.B.C.D.解析 由条件知c＋＋＋＝1，∴c＝，故ξ的分布列为ξ0123P故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，∴选B.答案 B二、填空题4．(2022·宁夏银川质检)已知随机变量ξ的分布列为ξ－101P那么ξ的数学期望E(ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η的数学期望E(η)＝________.解析 由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝.答案 － 5．(2022·广州模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为X012P________________________解析 P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝＝0.6，7\nP(X＝2)＝＝0.3.答案 0.1 0.6 0.36．(2022·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________.解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为，从中取3次(做3次试验)X为取得次品(成功)的次数，则X～B，∴D(X)＝3××＝.答案 一年创新演练7．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元．解析 由概率分布性质a1＋2a1＋4a1＝1∴a1＝，从而2a1＝，4a1＝.因此获得资金X的分布列为X700560420P∴E(X)＝700×＋560×＋420×＝500(元)．答案 5008．育才学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为残疾人志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(X)＝________(结果用最简分数表示)．解析 首先X∈{0，1，2}．∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.7\n答案 B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2022·安徽芜湖一模)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( )A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8解析 E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C··＝3·2－10.答案 C二、填空题10.(2022·河南信阳一模)如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.解析 法一 由已知得，ξ的取值为7，8，9，10，∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，∴ξ的概率分布列为ξ78910P∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.法二 P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝.答案 三、解答题11．(2022·广东六校联考)近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．7\n(1)求至少有1天需要人工降雨的概率；(2)求不需要人工降雨的天数X的分布列和期望．解 (1)5天全不需要人工降雨的概率是P1＝＝，故至少有1天需要人工降雨的概率是1－P1＝.(2)X的取值是0，1，2，3，4，5，由(1)知P(X＝5)＝，P(X＝4)＝×C××＋C××＝＝，P(X＝3)＝C××＋C××C××＋×＝，P(X＝2)＝C××＋C××C××＋×＝，P(X＝1)＝C××＋×C××＝，P(X＝0)＝×＝，∴不需要人工降雨的天数X分布列是X012345P不需要人工降雨的天数X的期望是E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3.1.12．(2022·安徽合肥一模)“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b(其中a＋b＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)E(ξ)；7\n(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围．解 (1)依题意知ξ的可能取值为20，0，－10，ξ的分布列为η200－10PE(ξ)＝20×＋0×＋(－10)×＝10.(2)设η表示把100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为η30－20PabE(η)＝30a－20b＝50a－20，依题意，得50a－20≥10，∴≤a≤1.∴a的取值范围是.一年创新演练13．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.解析 不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，列出相关分布列：S－2－101234m241014916PE(ξ)＝×0＋×1＋×4＋×9＋×16＝5.答案 514．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求ξ的数学期望；(2)记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率．7\n解 (1)客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的取值为1，3.P(ξ＝3)＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24，P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76，∴E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.(2)当ξ＝1时，函数f(x)＝x2－3x＋1在区间[2，＋∞)上单调递增；当ξ＝3时，函数f(x)＝x2－9x＋1在区间[2，＋∞)上不单调递增．∴P(A)＝P(ξ＝1)＝0.76.7
