A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·长沙模拟)有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③解析 对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确．答案 C2．(2022·莆田模拟)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )A.B.C.D.解析 由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴解得答案 D3．(2022·长春模拟)已知点B是点A(3，7，－4)在xOz平面上的射影，则2等于( )A．(9，0，16)B．25C．5D．13解析 A在xOz平面上的射影为B(3，0，－4)，则＝(3，0，－4)，2＝25.答案 B9\n4．(2022·青岛调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在上，且＝，N为B1B的中点，则||为( )A.B.C.D.解析 如图，设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0.由条件知＝＋＋＝－(a＋b＋c)＋a＋c＝a－b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝，∴||＝.答案 A二、填空题5．(2022·寿光模拟)已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．解析 b－a＝(1＋t，2t－1，0)，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值为.答案 一年创新演练6.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )A．0 B. C. D.9\n解析 设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.答案 A7.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．(1)证明 设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)解 ＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题9\n8．(2022·福州模拟)若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|AB|的取值范围是( )A．[0，5]B．[1，5]C．(0，5)D．[1，25]解析 ∵A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，|AB|＝＝＝，∴≤|AB|≤＝5，即1≤|AB|≤5，故选B.答案 B二、填空题9．(2022·海口模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以，为边的平行四边形的面积为________．解析 由题意可得：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，∴cos〈，〉＝＝＝＝.∴sin〈，〉＝.∴以，为边的平行四边形的面积S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.答案 7三、解答题10.(2022·河南商丘模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)设＝λ(0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．(1)证明 因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，9\n在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得：BC＝BC2＋CC－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，所以BC1＝，故BC2＋BC＝CC，所以BC⊥BC1，又BC∩AB＝B，∴C1B⊥平面ABC.(2)解 由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，C1(0，0，)，B1(－1，0，)．所以＝(－1，0，),所以＝(－λ，0，λ)，∴E(1－λ，0，λ)，则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，－1，)．设平面AB1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝，则x＝，y＝，，∴n＝，∵AB⊥平面BB1C1C，＝(0，1，0)是平面的一个法向量，∴|cos〈n，〉|＝＝＝.两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝(舍去)．∴λ＝1.11．(2022·山东青岛一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(1)求证：平面BDGH∥平面AEF；(2)求二面角H－BD－C的大小．9\n(1)证明 在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点．所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(2)解 取EF的中点N，连接ON，因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ON∥ED，因为平面BDEF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD，因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．所以以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，BF＝3，所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，E(－1，0，3)，F(1，0，3)，C(0，，0)，H，所以＝，＝(2，0，0)．设平面BDH的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令z＝1，得n＝(0，－，1)．由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为＝(0，0，3)，9\n则cos〈n，〉＝＝＝.所以二面角H－BD－C的大小为60°.一年创新演练12．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点．将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求二面角G－EF－D的大小；(3)求三棱锥D－PAB的体积．(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD.CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD.又AB＝BC＝AP＝AD，AP⊥AB，∴四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.(2)解 如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则G(2，1，0)，E(1，0，1)，F(0，0，1)，∴＝(－1，0，0)，＝(1，1，－1)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，9\n∴即∴取n＝(0，1，1)．取平面PCD的一个法向量＝(0，1，0)，∴cos〈，n〉＝＝＝.结合图知二面角GEFD的大小为45°.(3)解 三棱锥DPAB的体积VD－PAB＝VP－DAB＝S△ABD·PD＝××2×2×2＝.13.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．证明 (1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3)．由题意，得G(0，4，0)因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，所以平面BOE的一个法向量为n＝(0，3，4)．由＝(－4，4，－3)，得n·＝0，又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0，0)，则＝(x0－4，y0，－3)．因为FM⊥平面BOE，9\n所以∥n.因此x0＝4，y0＝－，即点M的坐标是(4，－，0)．在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M,使FM⊥平面BOE.由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为4，.9
