A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·浙江金华十校期末)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是( )A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥mC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥nD．若l⊥m，l⊥n，则n∥m解析 m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，需要m∩n＝A才有l⊥α，A错误；若m⊂α，n⊥α，l⊥n，l与m可能平行、相交，也可能异面，B错误；若l⊥m，l⊥n，n与m可能平行、相交，也可能异面，D错误．答案 C2．(2022·成都四中模拟)以下命题中真命题的个数是( )①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1B．2C．3D．4解析 ①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．答案 A3．(2022·许昌联考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是( )A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．直线AB与平面BEF所成的角为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值解析 ∵AC⊥平面BDD1B1，故AC⊥BE；7\n∵EF∥BD，∴EF∥平面ABCD；直线AB与平面BEF所成的角即直线AB与平面BDD1B1所成的角，故为定值，故D错误．答案 D4．(2022·北京顺义二模)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；④⇒α∥β；⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α.其中正确的命题是( )A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④解析 ①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．答案 C二、填空题5．(2022·广东顺德预测)如图所示，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．解析 取PD的中点F，连接EF、AF，在△PCD中，EF綉CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綉AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.答案 平行一年创新演练6．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内与过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与α平行的直线7\n解析 当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.答案 A7．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.证明 (1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2022·贵阳调研)在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析 如图，由题意，EF∥BD，7\n且EF＝BD.HG∥BD，且HG＝BD.∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行，故选B.答案 B二、填空题9．(2022·北京海淀模拟)如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.解析 如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝，∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.答案 a三、解答题10．(2022·四川德阳模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；(2)证明：B1F∥平面A1BE.(1)解 设G是AA1的中点，连接GE，BG.∵E为DD1的中点，ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG＝θ.设正方体的棱长为a，∴GE＝a，BG＝a，BE＝＝a，7\n∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为：sinθ＝＝.(2)证明 连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH.∵H为AB1的中点，且B1H＝C1D，B1H∥C1D，而EF＝C1D，EF∥C1D，∴B1H∥EF且B1H＝EF，四边形B1FEH为平行四边形，即B1F∥EH，又∵B1F⊄平面A1BE且EH⊂平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE.11．(2022·北京朝阳期末)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．(1)求证：AD1⊥平面A1B1D；(2)求证：B1E⊥AD1；(3)若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为A1B1⊥平面A1D1DA，AD1⊂平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1.在矩形A1D1DA中，因为AA1＝AD＝2，所以AD1⊥A1D.A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1D.(2)证明 因为E∈CD，所以B1E⊂平面A1B1CD，由(1)可知，AD1⊥平面A1B1CD，所以B1E⊥AD1.(3)解 当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.理由如下：在AB1上取中点M，连接PM，ME.因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，所以PM∥A1B1，且PM＝A1B1.又DE∥A1B1，且DE＝A1B1，所以PM∥DE，且PM＝DE，所以四边形PMED是平行四边形，所以DP∥ME.又DP⊄平面B1AE，ME⊂平面B1AE，7\n所以DP∥平面B1AE.此时，AP＝A1A＝1.一年创新演练12．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面命题不正确的是( )A．有水的部分始终呈棱柱形B．棱A1D1始终与水面所在的平面平行C．当容器倾斜如图③所示时，BE·BF为定值D．水面EFGH所在四边形的面积为定值解析 由题意知有水部分左、右两个面一定平行，且由于BC水平固定，故BC∥水平面，由线面平行的性质可知BC∥FG，BC∥EH.又BC∥A1D1，故A1D1∥水平面．在图③中，有水部分始终是以平面BEF和平面CHG为底面的三棱柱，且高确定，因此底面积确定，即BE·BF为定值．答案 D13．如图，圆O为三棱锥P－ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．(1)求证：BC⊥PB；(2)设PA⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，求三棱锥P－MBC的体积；(3)在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．(1)证明 如图，因为AC是圆O的直径，所以BC⊥AB，因为BC⊥PA，又PA、AB⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，(2)解 如图，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝1，所以BC＝，因此S△ABC＝，7\n因为PA⊥BC，PA⊥AC，BC∩AC＝C，所以PA⊥平面ABC，所以，VP－MBC＝VP－ABC－VM－ABC＝··2－··1＝.(3)解 如图，取AB的中点D，连接OD、MD、OM，则N为线段OD(除端点O、D外)上任意一点即可，理由如下：因为M、O、D分别是PA、AC、AB的中点，所以MD∥PB，MO∥PC.因为，MD⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以MD∥平面PBC，同理可得，MO∥平面PBC.因为MD、MO⊂平面MDO，MD∩MO＝M，所以平面MDO∥平面PBC，因为MN⊂平面MDO，故MN∥平面PBC.7
