A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·豫南五市模拟)m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直．A．②B．②③C．①③D．②④解析 ①③④错误，②正确，故选A.答案 A2．(2022·四川雅安模拟)下列说法错误的是( )A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析 如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、异面．故选D.答案 D3．(2022·江南十校)在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )解析 A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角，C中AB与CD成45°角，D中，AB与CD夹角的正切值为.答案 A7\n4.(2022·山东东营一模)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析 由BC1⊥AC，BA⊥AC，得AC⊥平面ABC1，所以平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上．答案 A二、填空题5．(2022·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析 由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；④在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案 ①④一年创新演练6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是( )A．p∧(綈q)是真命题B．(綈p)∨q是真命题C．(綈p)∧q是假命题D．p∨q是假命题解析 对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故(綈p)∨q是真命题，选B.答案 B7.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是( )A．①②B．①②③C．①D．②③解析 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，7\n∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．答案 BB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8.(2022·青岛模拟)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析 ∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．答案 B二、填空题9．(2022·绵阳模拟)在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．解析 如图，∵PABC为正三棱锥，∴PB⊥AC.又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．答案 ①②10．(2022·安徽省名校联考)给出命题：①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β7\n”的充要条件；④在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．其中，正确的命题是________(只填序号)．解析 ①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．答案 ②④三、解答题11．(2022·山东菏泽二模)如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.(1)证明：平面ABEF⊥平面BCDE；(2)求三棱锥E－ABC的体积．(1)证明 正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，易知AC⊥BE，且AG＝CG＝，在多面体中，由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2，故AG⊥GC，又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，故AG⊥平面BCDE,又AG⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BCDE.(2)解 连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，故S△BCE＝×4×＝2，所以VE－ABC＝VA－BCE＝×2×＝2.7\n12.(2022·广东佛山模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC＝AB＝1，A1C＝A1B，B1C1∥BC，B1C1＝BC.(1)求证：平面A1AC⊥平面ABC；(2)求证：AB1∥平面A1C1C.证明 (1)∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A＝AB＝AC＝1，A1A⊥AB.∴A1B＝.∵A1C＝A1B，∴A1C＝，∴AC2＋AA＝A1C2，∴∠A1AC＝90°，∴A1A⊥AC.∵AB∩AC＝A，∴A1A⊥平面ABC.又∵A1A⊂平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.(2)取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC，∴四边形CEB1C1为平行四边形．∴B1E∥C1C.∵C1C⊂平面A1C1C，B1E⊄平面A1C1C，∴B1E∥平面A1C1C.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥BE，B1C1＝BE，∴四边形BB1C1E为平行四边形，∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E.又∵四边形ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E，∴四边形AEC1A1为平行四边形，∴AE∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1C，AE⊄平面A1C1C，∴AE∥平面A1C1C.∵AE∩B1E＝E，7\n∴平面B1AE∥平面A1C1C.∵AB1⊂平面B1AE，∴AB1∥平面A1C1C.一年创新演练13.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明 (1)设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ACEF.又CF⊂平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G.所以CF⊥平面BDE.14.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．(1)证明 连接A1C，交AC1于点O，连接OD.由ABC－A1B1C1是直角三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC的中点，所以OD为△A1BC的中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，7\n所以A1B∥平面ADC1.(2)解 由ABCA1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，得BA，BC，BB1两两垂直．以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA＝2，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，1)，D(1，0，0)，假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上，A1(0，2，1)，B1(0，0，1)，故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2.所以＝(0，λ－2，1)，＝(1，0，1)．因为AE与DC1成60°角，所以|cos〈，〉|＝＝.即||＝，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60°角．7
