第五节 直线、平面垂直的判定与性质A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·贵阳市摸底)已知两个平面垂直，给出下列四个命题：①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面；④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析 ①只有当一个平面内的这条已知直线垂直另一平面时，它才垂直另一平面的任意一条直线，所以①是错误的；②一个平面内的已知直线必与另一平面内和两平面交线垂直的无数直线垂直，所以②正确；③只有一个平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于另一平面，所以③是错误的；④其中一个平面内平行于两平面交线的直线一定平行于另一平面，所以④正确.答案 C2.(2022·泉州模拟)如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )A.MN∥ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC⊥平面VACD.平面VAC⊥平面VBC解析 ∵VM＝MA，VN＝NC，∴MN∥AC，又∵AC∩AB＝A，∴MN和AB不可能平行，排除A；∵VA⊥面ABC，∴VA⊥BC，又∵BC⊥AC，∴BC⊥面VAC，∴面VBC⊥面VAC，故D正确，∵BC⊥MN，排除，B；∵∠OCA≠90°，∴OC和面VAC不垂直，排除C，故选D.答案 D3.(2022·山东泰安普通高中联考)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )7\nA.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α⊥β，m⊥β，则m∥βD.若α∥β，m⊄β，且m∥α，则m∥β解析 对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，选项D正确.答案 D4.(2022·河南六市联考)已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：①若m⊥a，n∥b，且α⊥β，则m∥n；②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；③若m∥a，n⊥b，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥a，n⊥b，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是( )A.①②B.③④C.①④D.②③解析 ①中m，n不一定平行，还可能垂直.④中m，n不一定平行，还可能异面.答案 D一年创新演练5.设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 若直线a，b相交，则能推出l⊥α，若直线a，b不相交，则不能推出l⊥α，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件，选C.答案 C6.(2022·山东日照一中测试)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点.(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C.证明 (1)连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EF∥D1B，∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.7\n(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，BC1⊥B1C，∴AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1.∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C.B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·青岛模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )A.B.C.D.[，]解析 取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1M＝A1N＝＝，MN＝＝，所以当点P位于M，N处时，A1P最大，当P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，所以线段A1P长度的取值范围是，选B.答案 B8.(2022·北京西城区检测)如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，7\n平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设＝x，则( )A.函数y＝f(x)的值域为(0，4]B.函数y＝f(x)的最大值为8C.函数y＝f(x)在上单调递减D.函数y＝f(x)满足f(x)＝f(1－x)解析 ∵＝＝x，∴EH＝6(1－x)，∵＝＝1－x，∴EF＝4x，故y＝EH·EF＝－24x2＋24x，x∈(0，1)，因此y∈(0，6]，其对称轴为x＝，故在上单调递增，上单调递减，f(1－x)＝－24[(1－x)2－(1－x)]＝f(x).答案 D二、解答题9.(2022·湖南益阳模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，AD＝1，CD＝2，∠DCB＝60°.(1)求证：平面A1BCD1⊥平面BDD1B1；(2)若D1D＝BD，求四棱锥DA1BCD1的体积.(1)证明 在△ABD中，由余弦定理得BD＝＝，所以AD2＋BD2＝AB2，所以∠ADB＝90°；即AD⊥BD，又四边形ABCD为平行四边形，所以BC⊥BD，又D1D⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以D1D⊥BC，又D1D∩BD＝D，所以BC⊥平面BDD1B1，又BC⊂平面A1BCD1，所以平面A1BCD1⊥平面BDD1B1.(2)解 连接BD1，∵DD1＝BD＝，∴BD1＝，∵BC⊥平面BDD1B1，7\n所以BC⊥BD1，所以四边形A1BCD1的面积S四边形A1BCD1＝2×·BC·BD1＝，取BD1的中点M，连接DM，则DM⊥BD1，且DM＝，又平面A1BCD1⊥平面BDD1B1，平面A1BCD1∩平面BDD1B1＝BD1，所以DM⊥平面A1BCD1，所以四棱锥DA1BCD1的体积V＝·S四边形A1BCD1·DM＝1.10.(2022·山西康杰中学期中)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是AB的中点.(1)证明：BD1∥平面A1DE；(2)证明：D1E⊥A1D；(3)求二面角D1ECD的正切值.(1)证明 连接AD1交A1D于O，连接EO，则O为AD1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BD1，又∵OE⊂平面A1DE，BD1⊄平面A1DE，∴BD1∥平面A1DE.(2)证明 由题意可知：四边形ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，又∵AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴AB⊥A1D.又∵AB⊂平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面AD1E.又∵D1E⊂平面AD1E，∴A1D⊥D1E.(3)解 在△CED中，CD＝2，DE＝＝，CE＝＝，∴CD2＝CE2＋DE2，7\n∴CE⊥DE，又∵D1D⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴CE⊥D1D，又∵D1D⊂平面D1DE，DE⊂平面D1DE，D1D∩DE＝D，∴CE⊥平面D1DE.又∵D1E⊂平面D1DE，∴CE⊥D1E，∴∠D1ED是二面角D1ECD的一个平面角，在△D1ED中，∠D1DE＝90°，D1D＝1，DE＝，∴tan∠D1ED＝＝＝，∴二面角D1ECD的正切值是.一年创新演练11.如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析 ∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形.答案 B12.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK＝t，则t的取值范围是________.解析 如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，7\n∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点.∴t的取值范围是.答案 7
