第四节 直线、平面平行的判定与性质A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·荆门市调研)若m，n是两条不重合的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是( )A.若m∥n，n⊂α，则m∥αB.若m∥n，n∥α，则m∥αC.若m∥n，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥α，则m∥α解析 选项A、B、D均存在m⊂α的情形，排除A、B、D，故选C.答案 C2.(2022·山东聊城东阿一中上学期期中)设直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC.若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α解析 选项A，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B，只有m，n相交时成立，选项C，只有m垂直于交线时成立，故选D.答案 D3.(2022·辽宁大连检测)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析 对于A，同时平行于平面α的两直线可能相交、平行、异面，因此A不正确；对于B，垂直于同一平面的两个平面未必平行，它们也可能是相交的两个平面，因此B不正确；对于C，平行于同一直线的两个平面未必平行，它们也可能是相交的两个平面，因此C不正确；对于D，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知，D正确.故选D.答案 D5\n4.(2022·山东济宁模拟)设l表示直线，α、β表示平面.给出四个结论：①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行.以上四个结论中，正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 若l∥α，则在α内的直线与l平行或异面，故①正确，②错误.由面面平行的性质知③正确.对于④，在β内有无数条直线与a平行，故④错误.故选C.答案 C5.(2022·四川绵阳诊断)设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①⇒β∥γ，②⇒m⊥β，③⇒α⊥β，④⇒m∥α，其中真命题是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 对于①，利用平面与平面平行的判定定理可证①正确；对于②，如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，α为面BD，β为面D1C，直线A1B1为直线m，显然面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，故不正确；对于③，∵m∥β，∴β内有一直线l与m平行，而m⊥α，∴l⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确；对于④，m有可能在平面α内，故不正确.故选C.答案 C一年创新演练6.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )A.B.C.D.解析 取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1M＝A1N＝＝，MN＝＝，5\n所以当点P位于M，N处时，A1P最大，当P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，所以线段A1P长度的取值范围是[，，选B.答案 B7.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.解析 连接FH，HN，FN.由题意知HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1，且FH∩HN＝H，∴面NHF∥面B1BDD1，∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.答案 M∈线段FHB组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题8.(2022·丽水一模)已知a，b是空间两条不相交的直线，那么过直线b且平行于直线a的平面( )A.有且仅有一个B.至少有一个C.至多有一个D.有无数个解析 因为a，b是空间两条不相交的直线，所以a，b的位置关系有两种，即平行或异面.若a，b平行，那么过直线b且平行于直线a的平面有无数个；若a，b异面，如图，在b上任取一点O，过点O作c∥a，则b，c确定平面α，且a∥α，那么过直线b且平行于直线a的平面只有一个.故选B.答案 B9.(2022·长沙一模)设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当α∥β时，因为m，n⊂α，所以m∥β且n∥β，故充分性成立；当m∥β且n∥β5\n时，m，n⊂α，若m，n相交，则能推出α∥β，若m，n不相交，则α与β可能相交，故不能推出α∥β，所以必要性不成立.答案 A二、解答题10.(2022·郑州预测)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1？若存在，求三棱锥EABC1的体积；若不存在，请说明理由.(1)证明 在直三棱柱ABCA1B1C1中，有A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.(2)解 存在.取A1A的中点F，连接EF，FD，当E为B1B中点时，EF∥AB，DF∥AC1，∴平面EFD∥平面ABC1，∴ED∥平面ABC1.当E为BB1中点时，VEABC1＝VC1ABE＝××1×1×2＝.一年创新演练11.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面命题不正确的是( )A.有水的部分始终呈棱柱形B.棱A1D1始终与水面所在的平面平行C.当容器倾斜如图③所示时，BE·BF为定值5\nD.水面EFGH所在四边形的面积为定值解析 由题意知有水部分左、右两个面一定平行，且由于BC水平固定，故BC∥水平面，由线面平行的性质可知BC∥FG，BC∥EH.又BC∥A1D1，故A1D1∥水平面.在图③中，有水部分始终是以平面BEF和平面CHG为底面的三棱柱，且高确定，因此，底面积确定，即BE·BF为定值，故选D.答案 D12.如图，四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点.(1)求证：AD⊥PC；(2)求三棱锥APDE的体积；(3)在边AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因为PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD.又因为PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC.(2)解 由(1)知AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高.因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝S△PDC＝×(×4×4)＝4.又AD＝2，所以VAPDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝.(3)解 取AC的中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥PA.又因为EM⊂平面DEM，PA⊄平面EDM，所以PA∥平面DEM.此时AM＝AC＝＝＝.即在边AC上存在一点M，使得PA∥平面EDM，且AM的长为.5
