A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·四川雅安模拟)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为( )A．x－y－1＝0B．x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0D．2x＋y＋1＝0解析 因为f′(x)＝，所以f′(0)＝－2，故在x＝0处的切线方程为2x＋y＋1＝0，故选D.答案 D2．(2022·陕西西安模拟)曲线f(x)＝x3＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0点的坐标为( )A．(1，0)B．(2，8)C．(1，0)和(－1，－4)D．(2，8)和(－1，－4)解析 设p0(x0，y0)，则3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以p0点的坐标为(1，0)和(－1，－4)．故选C.答案 C3.(2022·云南师大附中模拟)如图，直线y＝2x与抛物线y＝3－x2所围成的阴影部分的面积是( )A. B．2C．2－ D.解析 S＝(3－x2－2x)dx＝，故选D.答案 D4．(2022·山东师大附中模拟)设a＝cosxdx，b＝sinxdx，下列关系式成立的是( )6\nA．a>bB．a＋b<1C．a<bD．a＋b＝1解析 a＝cosxdx＝sinx＝sin1，b＝sinxdx＝(－cosx)＝1－cos1，∴a＝sin1>sin＝，又cos1>cos＝，∴－cos1<－，b＝1－cos1<1－＝，∴a>b，选A.答案 A5．(2022·北大附中河南分校模拟)如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.B.C.D.解析 由题意可设f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，即函数切线的斜率为k＝f′(x)＝a(x－1)2＋≥，即tanα≥，∴≤α<，选B.答案 B二、填空题6．(2022·烟台模拟)曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．解析 y′＝ex，∴在点(4，e2)的导数为y′＝e×4＝e2，即切线斜率为k＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.∴三角形的面积为×2×e2＝e2.答案 e2三、解答题7．(2022·绵阳诊断)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或1.6\n(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取值范围是∪.一年创新演练8．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________．解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.答案 －120B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2022·河南洛阳模拟)曲线y＝(x>0)在点P(x0，y0)处的切线为l.若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为( )A．4＋2B．2C．2D．5＋2解析 由y＝，得y′＝－，则y′|x＝x0＝－，∴曲线y＝(x>0)在点P(x0，y0)处的切线方程为：y－＝－(x－x0)．整理得：x＋xy－2x0＝0.取y＝0，得：x＝2x0，取x＝0，得y＝.∴|AB|＝＝2.∴△OAB的周长为6\n|2x0|＋＋2＝2＋2(x0>0)≥2×2＋2＝4＋2.当且仅当x0＝1时上式等号成立．故选A.答案 A10．(2022·山东潍坊模拟)已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象是( )解析 因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx为奇函数，且f′<0，故选A.答案 A11．(2022·福州模拟)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.B.C.D.解析 设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝.因为ex>0，所以由基本不等式可得k≥＝－1.又k<0，所以－1≤k<0，6\n即－1≤tanα<0.所以≤α<π.故选D.答案 D12.(2022·江苏常州联考)由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为( )A.B.C.D.解析 S1＝t3－x2dx＝t3－t3＝t3，S2＝x2dx－(1－t)t2＝t3－t2＋，S1＋S2＝t3－t2＋，t∈(0，1)．可由导数求得当t＝时，S1＋S2取到最小值，最小值为.答案 D二、填空题13．(2022·广东模拟)设球的半径为时间t的函数R(t)，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________．解析 设球的体积以均匀速度c增长，由题意可知球的体积为V(t)＝πR3(t)，则c＝4πR2(t)R′(t)，则＝4πR(t)，则球的表面积的增长速度为V表＝S′(t)＝(4πR2(t))′＝8πR(t)R′(t)＝，即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为V表·R(t)＝2c＝1.答案 114．(2022·昆明一中一模)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)，则a＝________．解析 ∵f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)＝4，∴2f(a)＝4，即f(a)＝2，∴f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝.6\n答案 －1或三、解答题15．(2022·湖南十二校联考)已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－14＝8(x－2)，即8x－y－2＝0.(2)由已知得a>＝x＋，设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g′(x)＝1－，∵1≤x≤2，∴g′(x)<0，∴g(x)在[1，2]上是减函数．g(x)min＝g(2)＝，∴a>，即实数a的取值范围是.一年创新演练16．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是( )A．[－2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]解析 f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2＝2sin，∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，∴≤2sin≤2，即≤f′(1)≤2，即导数f′(1)的取值范围是[，2]，选D.答案 D6
