A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·江西新余模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是( )A. B．(1，2)C. D．(2，3)解析 函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象得0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，而g(x)＝lnx＋f′(x)在定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a＜0，g(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，∴函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是，故选C.答案 C2．(2022·河北恒台模拟)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2022(x)＝( )A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析 f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…由上面可以看出，以4为周期进行循环．所以f2015(x)＝f3(x)＝－cosx，故选D.答案 D3．(2022·江西新余模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ8\n|的最小值为( )A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)解析 函数y＝ex和函数y＝ln(2x)互为反函数图象关于y＝x对称．则只有直线PQ与直线y＝x垂直时|PQ|才能取得最小值．设P，则点P到直线y＝x的距离为d＝，令g(x)＝ex－x，(x>0)，则g′(x)＝ex－1，令g′(x)＝ex－1>0得x>ln2；令g′(x)＝ex－1<0得0<x<ln2，则g(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增．则x＝ln2时，g(x)min＝eln2－ln2＝1－ln2>0，所以dmin＝.则|PQ|＝2dmin＝(1－ln2)．故B正确．答案 B4．(2022·浙江温州模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x－15的解集为( )A．(－∞，4)B．(－∞，－4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)解析 记g(x)＝f(x)－3x＋15，则g′(x)＝f′(x)－3<0，可知g(x)在R上为减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以f(x)<3x－15可化为f(x)－3x＋15<0，即g(x)<g(4)，结合其函数单调递减，故得x>4.答案 D5．(2022·北京朝阳调研)已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.解析 因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个极小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，只需3m－≥8\n－9，解得m≥.答案 A二、填空题6．(2022·山西临汾一模)函数y＝的极小值为______．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，令y＝f(x)，f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝e2.函数f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(0，1)1(1，e2)e2(e2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)0则当x＝1时，函数y＝取到极小值0.答案 0三、解答题7．(2022·湛江质检)已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.(1)解 令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.①若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．②若0<a<1，存在x0∈，使得cosx0＝a，当x∈(0，x0)，h′(x)＝cosx－a>0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意．③若a≤0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意．8\n综上可知，a的取值范围是[1，＋∞)．(2)证明 当a取(1)中的最小值为1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－x2.令G(x)＝1－cosx－x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cosx－x2在[0，＋∞)上单调递减，此时G(x)＝1－cosx－x2≤G(0)＝0，即H′(x)＝1－cosx－x2≤0，所以H(x)＝x－sinx－x3在x∈[0，＋∞)上单调递减．所以H(x)＝x－sinx－x3≤H(0)＝0，则x－sinx≤x3(x≥0)．所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)－f(x)≤x3.一年创新演练8．函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是______．解析 y′＝1－2sinx，令y′＝0，且x∈，得x＝，则x∈时，y′>0；x∈时，y′<0，故函数在上递增，在上递减，所以当x＝时，函数取最大值为＋.答案 ＋B组 专项提升测试三年模拟精选8\n一、选择题9．(2022·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是( )A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜a＜b解析 设h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，∵y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＞0，∴此时函数h(x)单调递增．∵a＝f＝h，b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，c＝f＝h＝h(－ln2)＝h(ln2)，又2＞ln2＞，∴b＞c＞a.故选A.答案 A二、填空题10．(2022·北京海淀4月模拟题)设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，则商品价格P的取值范围是________．解析 由Q＝100－5P得Q′＝－5，由＝－P知>1，∴20>P>10，由Q>0得P<20.综上，P的取值范围为(10，20)．答案 (10，20)11．(2022·黑龙江哈尔滨一模)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．解析 ∵f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]，∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值，8\n∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根．即Δ＝4a2－4a－8>0，∴a>2或a<－1.答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)三、解答题12．(2022·山西临汾一模)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f(x)的图象在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)设g(x)＝4lnx－m，若存在x∈[1，e]，使g(x)<f′(x)，求实数m的取值范围．解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，(*)由f′(x)是偶函数得b＝0，(ⅰ)又f(x)的图象在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，∴f′(0)＝c＝－1，(ⅱ)将(ⅰ)(ⅱ)代入(*)得a＝，∴f(x)＝x3－x＋3.(2)由已知得，若存在x∈[1，e]，使4lnx－m<x2－1，即存在x∈[1，e]，使m>(4lnx－x2＋1)min.设M(x)＝4lnx－x2＋1，x∈[1，e]，则M′(x)＝－2x＝，令M′(x)＝0，又因为x∈[1，e]，所以x＝.当<x≤e时，M′(x)<0，则M(x)在(，e]上为减函数；当1≤x≤时，M′(x)>0，则M(x)在[1，]上为增函数，所以M(x)在[1，e]上有最大值．8\n又M(1)＝0，M(e)＝5－e2<0，所以M(x)的最小值为5－e2.所以m>5－e2.故实数m的取值范围是(5－e2，＋∞)．一年创新演练13．已知函数f(x)＝，x∈[0，1]．(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．解 (1)f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，解得x＝或x＝(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f′(x)不存在－0＋不存在f(x)－－4－3∴当x∈时，f(x)是减函数；当x∈时，f(x)是增函数．当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．(2)g′(x)＝3(x2－a2)．∵a≥1，当x∈(0，1)时，g′(x)<3(1－a2)≤0，因此当x∈(0，1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0，1]时，有g(x)∈[g(1)，g(0)]．又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即当x∈[0，1]时，有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．对于任意x1∈[0，1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0，1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3]．8\n即解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.又a≥1，故a的取值范围为.8
