第四章 平面向量考点14 平面向量的概念与运算两年高考真题演练1．(2022·新课标全国Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)2．(2022·四川)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )A．2B．3C．4D．63．(2022·新课标全国Ⅱ)已知a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1B．0C．1D．24．(2022·重庆)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.5．(2022·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝( )A．5B．4C．3D．26．(2022·北京)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．(2022·陕西)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b28．(2022·江苏)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．9．(2022·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________．10．(2022·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．15\n11．(2022·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．12．(2022·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.13．(2022·陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．考点14 平面向量的概念与运算一年模拟试题精练1．(2022·惠州市二调)已知向量＝(3，7)，＝(－2，3)，则－＝( )A.B.C.D.2．(2022·山西省三诊)若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|等于( )A．2B．1C．2D.3．(2022·山西四校联考)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )A．0B.C.D. 15\n4．(2022·衡水二调)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )A．2B．2C．4D.5．(2022·乐山市调研)在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝( )A．(2，4)B．(3，5)C．(－2，－4)D．(－3，－5)6．(2022·烟台市检测)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )A.B.C．5D．257．(2022·山东省实验中学三诊)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )A.B.C.D.8．(2022·洛阳市高三统考)设等边三角形ABC边长为6，若＝3，＝，则·等于( )A．－6B．6C．－18D．189．(2022·西安八校联考)若向量a、b满足：a·b＝，|a|＝|b|＝1，则|2a＋b|＝________．10．(2022·成都市一诊)若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a，b的夹角的大小为________．11．(2022·大同市调研)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________．12．(2022·天津六校联考)在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则·＋·＝________．13．(2022·重庆市一诊)已知向量m＝，n＝，设函数f(x)＝m·n＋1.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝6abcosC，sin2C＝2sinAsinB，求f(C)的值．15\n考点15 平面向量的应用两年高考真题演练1．(2022·福建)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )A．－B．－C.D.2．(2022·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为( )A．6B．7C．8D．93．(2022·重庆，理)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )A．－B．0C．3D.4．(2022·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )A.B.C.D.5．(2022·安徽)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acosθ＋bcosθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则( )A．1<r<R<3B．1<r<3≤RC．r≤1<R<3D．1<r<3<R6．(2022·江苏)设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则15\n(ak·ak＋1)的值为________．7．(2022·陕西)设0＜θ＜，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________．8．(2022·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A;(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．9．(2022·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．考点15 平面向量的应用一年模拟试题精练1．(2022·江西省质检三)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝4，则等于( )A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c2．(2022·云南师大附中检测)设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝( )A．－6B.C.D．103．(2022·济南一中高三期中)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则|b|＝( )A.B．2C．5D．2015\n4．(2022·昆明三中，玉溪一中高三统考)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是( )A.B.C.D.5．(2022·晋冀豫三省二调)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )A．1B．2C．3D．46．(2022·北京东城区高三期末)已知向量a＝(1，3)，b＝(m，2m－3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，3)C．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D．[－3，3)7．(2022·济南一中高三期中)在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形8．(2022·杭州七校联考)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC的中点，则||＝( )A．2B．4C．6D．89．(2022·惠州市三调)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，且a⊥b，则实数x＝________．10．(2022·衡水中学二调)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则y＝________．11．(2022·南昌市调研)已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A，B，O是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m的取值范围是________．12．(2022·四川省统考)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C.(1)设·＝·，求证△ABC是等腰三角形；(2)设向量s＝(2sinC，－)，t＝，且s∥t，若sinA＝，求sin的值．15\n参考答案第四章平面向量考点14 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】1．A [＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．]2．B [a＝(2，4)，b＝(x，6)，∵a∥b，∴4x－2×6＝0，∴x＝3.]3．C [因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.]4．C [因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos〈a，b〉＝0即2＋4cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，即a，b夹角为π.]5．A [∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)．∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.]6．A [由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cosθ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)，∴cosθ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a∥b；反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0°或180°，a·b＝±|a|·|b|.]7．B [对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B.]8．－3 [∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.]9．9 [因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.]10. [在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴·＝·＝·＋·＋·＋·15\n＝2×1×cos60°＋2×＋×1×cos60°＋××cos120°＝.]11. [因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2)．所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos30°＝1.∴|b|＝.]12．①④⑤ [∵△ABC为边长是2的等边三角形，∴||＝|2a|＝2|a|＝2，从而|a|＝1，故①正确；又＝－＝2a＋b－2a＝b，∴b∥，故④正确；又(＋)·(－)＝2－2＝0，∴(＋)⊥，即(4a＋b)⊥，故⑤正确．]13．解 (1)法一 ∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴解得即＝(2，2)，故||＝2.法二 ∵＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2，2)，∴||＝2.(2)解 ∵＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.15\n【一年模拟试题精练】1．C [－＝－(＋)＝－[(3，7)＋(－2，3)]＝.]2．A [|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.]3．D [因为ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.]4．B [由已知得|a|＝2，∴|a＋2b|2＝a＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝2，故选B.]5．D [由题可知＝＋＝(－)＋＝＋2＝(1，3)＋2(－2，－4)＝(－3，－5)，故选D.]6．C [(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋|b|2＝50，|b|＝5.]7．B [a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cosθ－|a|2＝2，故cosθ＝，θ＝.]8．C [令＝c，＝b，则＝＋＝－c＋b，＝＋＝b＋c，·＝·＝－b2＝－18.]9. [∵a·b＝，|a|＝|b|＝1，∴|2a＋b|＝＝.]10．90° [∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，a·b＝0，故a⊥b.]11.π [∵非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，∴(a＋b)2＝c2，即a2＋b2＋2a·b＝c2，∴|a|2＋2|a|2cosa，b＝0，∴cosa，b＝－，∴a，b＝π.故答案为：π.]12．4 [设＝a，＝b，＝＋＝a－b，＝＋＝＋＝a＋b，·＋·15\n＝·(＋)＝a2＋a·b＋b2＝4.]13．解 (1)f(x)＝sincos－cos2＋1＝sinx－cosx＋＝sin＋.令2kπ－≤x－≤2kπ＋，∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以所求增区间为(k∈Z)．(2)由a2＋b2＝6abcosC，sin2C＝2sinAsinB，得c2＝2ab，因为cosC＝＝＝3cosC－1得cosC＝，又∵0＜C＜π，C＝，∴f(C)＝f＝1.考点15 平面向量的应用【两年高考真题演练】1．A [c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，∵b⊥c，∴b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，∴k＝－，故选A.]2．B [由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴线段AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)，∴|＋＋|＝，∴当x＝－1时，此式有最大值＝7，故选B.]3．C [因为a＝(k，3)，b＝(1，4)，所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2，1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，故选C.]4．C [∵＝＋λ，＝＋μ，15\n∴·＝(＋λ)·(＋μ)＝·＋μ·＋λ·＋λμ·＝2×2×＋4μ＋4λ＋2×2×λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝.①∵·＝(1－λ)·(1－μ)＝(λμ－λ－μ＋1)·＝2×2×(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.②由①②解得λ＋μ＝.]5．A [由已知可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，则＝(，)，曲线C＝{P|＝(cosθ，sinθ)，0≤θ<2π}，即C：x2＋y2＝1，区域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}表示圆P1：(x－)2＋(y－)2＝r2与圆P2：(x－)2＋(y－)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.]6．9 [∵ak＝，∴ak·ak＋1＝·15\n＝cos·cosπ＋·＝cos＋cosπ＋sinπ.故＝cos＋cosπ＋sinπ.由cosπ＝0，sinπ＝0，得ak·ak＋1＝cos·12＝9.]7. [因为a·b＝0，所以sin2θ－cos2θ＝0，2sinθcosθ＝cos2θ，因为0＜θ＜，所以cosθ＞0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.]8．解 (1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.法二 由正弦定理，得＝，15\n从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为S＝absinC＝.9．解 (1)由·＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解得或因a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.【一年模拟试题精练】1．D [∵＝4，∴－＝＝4＝4(－)，∴5＝4＋，∴＝＋＝b＋c.]2．D [∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10.]3．B [∵a⊥b，∴a·b＝x－4＝0，即x＝4，故|b|＝＝2.]15\n4．B [因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即a2＝a·b＝|a|2＝2，所以cosa，b＝＝＝，所以向量a与b的夹角为.]5．D [∵a＝(1，k)，b＝(2，2)，∴a＋b＝(3，k＋2)，又∵a＋b与a共线，∴3×2－(k＋2)·2＝0，即k＝1，故a·b＝(1，1)·(2，2)＝2＋2＝4.]6．C [由题意可得，{a，b}是平面的一组基底，所以a与b不共线，所以2m－3≠3m，所以m≠－3.]7．D [∵2＝·＋·＋·，∴2－·＝·＝·(－)＝2，∴·(－)＝0，即·＝0，故△ABC是直角三角形．]8．A [＝(＋)＝(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n，故||＝2|m－n|＝2＝2＝2＝2.]9．0 [∵a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，且a⊥b，∴a·b＝2(x＋1)＋2＝0，解之可得x＝0.]10．－4 [∵a＝(1，2)，b＝(－2，y)，a∥b，∴1·y＝2×(－2)，∴y＝－4.]11．(－2，－]∪[，2) [圆心O到直线x＋y＋m＝0的距离d＝.由|＋|≥|AB|得，|＋|≥|－|，所以||2＋||2＋2·≥||2＋||2－2·，所以·≥0，所以0＜∠AOB≤，≤cos∠AOB＜1，又＝cos∠AOB，所以2×≤|m|＜2，解得－2＜m≤－或≤m＜2.]12．(1)证明 因为·＝·，所以·(－)＝0，15\n又＋＋＝0，所以＝－(＋)，所以－(＋)·(－)＝0，所以2－2＝0，所以||2＝||2，即||＝||，故△ABC为等腰三角形．(2)解 ∵s∥t，∴2sinC＝－cos2C，∴sin2C＝－cos2C，即tan2C＝－，∵C为锐角，∴2C∈(0，π)，∴2C＝，∴C＝，∴A＝－B，∴sin＝sin＝sin，又sinA＝，且A为锐角，∴cosA＝，∴sin＝sin＝sinAcos－cosAsin＝15
