第六章 不等式考点19 不等式的性质、解法与基本不等式两年高考真题演练1．(2022·福建)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )A．2B．3C．4D．52．(2022·湖南)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )A.B．2C．2D．43．(2022·山东)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)4．(2022·北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞05．(2022·福建)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )A．13B．15C．19D．216．(2022·陕西)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q7．(2022·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.20\n在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz8．(2022·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋49．(2022·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A．80元B．120元C．160元D．240元10．(2022·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．11．(2022·浙江)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．12．(2022·山东)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．13．(2022·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．14．(2022·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则||·||的最小值为________.考点19 不等式的性质、解法与基本不等式一年模拟试题精练1．(2022·临沂一模)＞1的一个充分不必要条件是( )A．x＞yB．x＞y＞0C．x＜yD．y＜x＜02．(2022·山东青岛质检)设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )A.＞B.＞C．|a|＞－bD.＞3．(2022·武汉模拟)若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )20\nA．a＋＞b＋B.＞C．a－＞b－D.＞4．(2022·山西重点中学模拟)不等式＜0的解集为( )A．{x|1＜x＜2}B．{x|x＜2且x≠1}C．{x|－1＜x＜2且x≠1}D．{x|x＜－1或1＜x＜2}5．(2022·沈阳四校联考)若全集U＝{x∈R|x2≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集∁UA为( )A．{x∈R|0＜x＜2}B．{x∈R|0≤x＜2}C．{x∈R|0＜x≤2}D．{x∈R|0≤x≤2}6．(2022·山西省质检二)对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有f(x)≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做函数f(x)的上确界，则函数g(x)＝－－(x∈(0，1))的上确界是( )A.B．－4C.D．－7．(2022·河南洛阳质检)若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )A．(－3，1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅D．(0，1)8．(2022·山东泰安一模)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a＋b≥2B.＋＞C.＋≥2D．a2＋b2＞2ab9．(2022·皖南八校联考)函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象过一个定点P，且点P在直线mx＋ny－1＝0(m＞0，n＞0)上，则＋的最小值是( )A．12B．13C．24D．2510．(2022·湖南株洲调研)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )A.B.C．2D.11．(2022·郑州市预测)已知a，b是两个零点的单位向量且c·a＝c·b＝120\n，则对任意的正实数t，的最小值是( )A．2B．2C．4D．412．(2022·河南八市质量监测)已知f(x)＝当x∈时恒有f(x＋a)＜f(x)，则实数a的取值范围是( )A.B．[－2，0)C．(－∞，－)D．[－2，－)13．(2022·山西省三诊)不等式＜a的解集是{x|a＜x＜0}，则a＝________．14．(2022·江西省质检三)若不存在整数x满足不等式(kx－k2－2)(x－2)＜0，则实数k的取值范围是________．15．(2022·邯郸市质检)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝，则＋的最小值为________．16．(2022·吉林市高三摸底)已知正项等比数列{an}的公比q＝2，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________．20\n考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划两年高考真题演练1．(2022·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为( )A．7B．8C．9D．142．(2022·湖南)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值为( )A．－1B．0C．1D．23．(2022·安徽)已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是( )A．－1B．－2C．－5D．14．(2022·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元5．(2022·四川)设实数x，y满足则xy的最大值为( )A.B.C．12D．146．(2022·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A．－3B．1C.D．37．(2022·福建)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为220\n，则实数m等于( )A．－2B．－1C．1D．28．(2022·福建)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )A．5B．29C．37D．499．(2022·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )A．0B．1C．2D．310．(2022·新课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．11．(2022·新课标全国Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．12．(2022·北京)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．13．(2022·浙江)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．20\n考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划一年模拟试题精练1．(2022·北京模拟)在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于( )A．1B．2C．3D．42．(2022·武汉调研试题)设A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )3．(2022·汕头模拟)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A．1B．－1C．0D．－24．(2022·山西省三诊)已知x，y满足则z＝2x＋y的最大值为( )A．－3B．－1C.D．35．(2022·昆明一中检测)设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是( )A．－7B．－6C．－5D．－36．(2022·贵州七校一联)一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，点(x，y)在这个平行四边形的内部或边上，则z＝2x－5y的最大值是( )A．16B．18C．20D．367．(2022·云南师大附中适应性考试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则a＋b的值为( )20\nA.B．2C．4D．08．(2022·郑州市预测)已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )A．17B．18C．20D．219．(2022·西安八校联考)已知变量x，y满足约束条件若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a，b，那么函数y＝bx2＋ax在区间[b，a]上的值域为( )A．[－30，－2]B.C.D．[－3，1]10．(2022·枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件则w＝的最小值是( )A．－2B．2C．－1D．111．(2022·北京朝阳区高三期末)在平面直角坐标系中，若关于x，y的不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．12．(2022·宝鸡市质检)若目标函数z＝kx＋y在约束条件表示的可行域内，不仅在点(1，1)处取得最小值，则实数k的取值范围是________．13．(2022·三明模拟)若x，y满足约束条件且z＝kx＋y取得最小值时的点有无数个，则k＝________．14．(2022·厦门市质检)点P(x，y)在直线y＝kx＋2上，记T＝|x|＋|y|，若使T取得最小值的点P有无数个，则实数k的取值是________．15．(2022·赤峰市测试)已知O(x，y)为区域内的任意一点，当该区域面积为4时，z＝2x－y的最大值为________．20\n参考答案第六章 不等式考点19 不等式的性质、解法与基本不等式【两年高考真题演练】1．C [由题意＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝2时，取等号．故选C.2．C [由＋＝，知a＞0，b＞0，由于＋≥2，∴≥，∴ab≥2.故选C.]3．C [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.]4．C [A，B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立．]5.A [建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·20\n＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.]6．C [∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]7．B [作差比较，∵x＜y＜z，a＜b＜c，则(az＋by＋cx)－(ax＋by＋cz)＝a(z－x)＋c(x－z)＝(a－c)(z－x)＜0，∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz；(az＋by＋cx)－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx；(ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c)(z－x)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz，∴az＋by＋cx最小．故选B.]8．D [因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，选择D.]9．C [设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160(当且仅当x＝，即x＝2时取等号)．所以该容器的最低总造价为160元．故选C.]10．4 [log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤＝＝＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝20\n2.]11．－ 2－6 [因为f(x)＝∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－.当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.当x＞1时，f(x)＝x＋－6≥2－6，当且仅当x＝时“＝”成立．∵2－6＜0，∴f(x)的最小值为2－6.]12. [由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．]13．3 [∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.]14. [在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos60°＋2×＋λ×1×cos60°＋λ·×cos120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.]【一年模拟试题精练】1．B [当x＞y＞0时，＞1成立；而当＞1时，可得x＞y＞0或x＜y＜0，故选B.]2．B [由题设得a＜a－b＜0，所以有＜成立，即＞不成立．]3．A [检验法：取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增．所以，当a＞b＞0时，f(a)＞f(b)必定成立．但g(a)＞g(b)未必成立，这样，a－＞b－⇔a＋＞b＋，故选A.]4．D [＜0⇔(x－1)(x＋1)(x－2)＜0⇔x＜－1或1＜x＜2，故选D.]20\n5．C [∵全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x∈R|0＜x≤2}，故选C.]6．D [g(x)＝－－＝－·[x＋(1－x)]＝－≤－，所以M≥－，上确界为－.]7．B [不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1，故选B.]8．C [因为ab＞0，所以＞0，＞0，即＋≥2＝2(当且仅当a＝b时等号成立)，所以选C.]9．D [函数f(x)＝ax－1＋3恒过点P(1，4)，∴m＋4n－1＝0，m＋4n＝1.∴＋＝(m＋4n)＝1＋＋＋16≥25.]10．C [由x＞0，y＞0知4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，故选C.]11．B [设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(1，1)，代入c＋ta＋b＝，∴＝＝≥2.]12.A [由题意知在上y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)图象的下方，当a＝0时，显然不合题意，当a＞0时，作出y＝f(x＋a)和y＝f(x)图象，由图象知不合题意，当a＜0时作出y＝f(x＋a)和y＝f(x)图象如图所示，由图象可知，要使f(x＋a)＜f(x)在20\n上恒成立，只需f＜f即可，则有－a－＋a＜－a－，整理得a2－a－1＜0，即＜a＜0.]13．－1 [＜a化为x(－ax＋1)＜0，它的解集是{x|a＜x＜0}，知a＜0，则由x(－ax＋1)＜0得＜x＜0，则a＝，解得a＝－1.]14．[1，2] [可判断k＝0或k＜0均不符合题意，故k＞0.于是原不等式即为k(x－2)＜0⇒(x－2)＜0，依题意应有1≤≤3且k＞0，∴1≤k≤2.]15．3 [∵2x－3＝＝2－y，∴x＋y＝3，因此，＋＝(x＋y)＝≥＝3.]16. [正项等比数列{an}的公比q＝2，∵存在两项am，an，使得＝4a1，∴＝4a1，∵a1≠0，∴2m＋n－2＝24，∴m＋n＝6.则＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当n＝2m＝4时取等号．∴＋的最小值为.]考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划【两年高考真题演练】1．C [作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l：3x＋y＝0，平移直线l可知，经过点A时，z＝3x＋y取得最大值，由20\n得A(2，3)，故zmax＝3×2＋3＝9.选C.]2．A [作出表示的平面区域如图：平移直线y＝2x－z知，过点M(0，1)时，z最小＝－1.故选A.]3．A [(x，y)在线性约束条件下的可行域如图，∴zmax＝－2×1＋1＝－1.故选A.]4．D [设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值．由得A(2，3)．则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．]5．A [xy＝×2xy≤≤＝，当且仅当x＝，y＝5时，等号成立，把x＝，y＝5代入约束条件，满足．故xy的最大值为.]6．B [20\n不等式组表示的区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，C点横坐标xC＝－2m，∴S＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1.]7.C [由图形知A，B，O(0，0)．只有在B点处取最大值2，∴2＝－.∴m＝1.]8．C [平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD，因圆心C(a，b)∈Ω，且圆C与x轴相切，所以圆心C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y＝1(－2≤x≤6)，由图形得，当圆心C在点N(6，1)处时，a2＋b2取得最大值62＋12＝37，故选C.]9．C [在约束条件下，S＝2x＋y的最大值应在点(1，0)处取得，即Smax＝2×1＋0＝2，显然2>1，故选C.]10．4 [x，y满足条件的可行域如图所示的阴影部分，当z＝3x＋y过A(1，1)20\n时有最大值，z＝4.]11．8 [画出约束条件表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC.作直线l0：2x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线z＝x＋y在y轴上的截距最大，即z最大，解得即A(3，2)，故z最大＝2×3＋2＝8.]12.7 [z＝2x＋3y，化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋在点A(2，1)处时，z取最大值，z＝2×2＋3＝7.]13．15 [因为实数x，y满足x2＋y2≤1，则2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝－3x－4y＋10.令z＝－3x－4y＋10，则3x＋4y－10＋z＝0.当直线3x＋4y－10＋z＝0与圆x2＋y2＝1相切时，z取最值，故＝1，∴z＝5或z＝15，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15.]【一年模拟试题精练】20\n1．B [该线性约束条件所表示平面区域如下图所示，该区域为边长为的正方形，故其面积为()2＝2.]2．A [由已知得即]3．A [该约束条件表示的平面区域如图所示，故·(3－k)·＝1，得k＝1，k＝7(舍去)．]4．D [作出可行域如图，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知，当直线y＝－2x＋z经过点E时，直线的截距最大，此时z最大．由得即E(2，－1)，代入得z＝2×2－1＝3.]5．B [由z＝2x－3y得y＝x－，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分包括边界)；平移直线y＝x－，由图象可知当直线y＝x－，过点C时，直线y＝x－截距最大，此时z最小，20\n由解得即C(3，4)．代入目标函数z＝2x－3y，得z＝2×3－3×4＝6－12＝－6.∴目标函数z＝2x－3y的最小值是－6.故选B.]6．C [平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC为对角线时，由中点坐标公式得AC的中点为，也是BD的中点，可知顶点D1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC为对角线时，得D2的坐标为(8，0)，当以AB为对角线时，得D3的坐标为(－2，8)，由此作出(x，y)所在的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z＝2x－5y经过点D1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20.]7．C [作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过点A(1，1)时取最大值，所以a＋b＝4.]8．B [依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域．注意到x2＋y2可视为该平面区域内的点(x，y)与原点间的距离的平方，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，与原点间的距离最远的点是(3，3)，因此x2＋y2的最大值等于32＋32＝18.]9．B [根据可行域的图形可知目标函数z＝x－2y在点(1，0)处取得最大值1，即a＝20\n1，在点(－1，1)处取得最小值－3，即b＝－3，则y＝－3x2＋x＝－3＋，x∈[－3，1]，∴ymin＝－30，ymax＝，故选B.]10．D [该线性约束条件表示平面区域如图所示，w＝表示(x，y)和(0，－1)两点的斜率，故wmin＝kAB＝＝1.]11.(－∞，0) [该约束条件所表示平面区域如图所示，要使该区域为三角形，需k＜0.]12．(－2，1) [该约束条件表示平面区域如图所示：由题意可得：kCD＜－k＜kAB，即－1＜－k＜2，得k∈(－2，1)．]13．－2或1 [该线性约束条件表示平面区域如图所示，由题意可得－k＝kAB＝2或－k＝kAC＝－1，即k＝－2或1.]14.20\n±1 [y＝kx＋2恒过(0，2)，T＝|x|＋|y|表示由A(0，－T)，B(T，0)，C(0，T)，D(－T，0)构成的图形，kCD＝1，kBC＝－1，由题意可得T＝2，k＝±1.]15．6 [由作出可行域，如图，由图可得A(a，－a)，B(a，a)，由S△OAB＝×2a×a＝4得a＝2，∴A(2，－2)，化目标函数为y＝2x－z，∴当y＝2x－z过A点时，z最大，zmax＝2×2－(－2)＝6.]20
