第六章 不等式考点19 不等式的性质及不等式的解法两年高考真题演练1.(2022·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )A．[－3，1]B．(－3，1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2022·天津)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2022·四川)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )A．16B．18C．25D.4．(2022·四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A.>B.<C.>D.<5．(2022·北京)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．(2022·山东)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.>B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C．sinx＞sinyD．x3＞y37．(2022·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>98．(2022·大纲全国)不等式组的解集为( )A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}9．(2022·江苏)不等式2x2－x＜4的解集为________．10．(2022·湖南)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________．24\n11．(2022·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．12．(2022·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．13．(2022·浙江)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．24\n考点19 不等式的性质及不等式的解法一年模拟试题精练1．(2105·烟台一模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|log2x<0}，则M∩N等于( )A．(－1，0)B．(－1，1)C．(0，1)D．(1，3)2．(2022·北京昌平区期末)已知a>b>0，则下列不等式成立的是( )A．a2<b2B.>C．|a|<|b|D．2a>2b3．(2022·江西师大模拟)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q4．(2022·山东枣庄一模)关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )A．a<0或a>4B．0<a<2C．0<a<4D．0<a<85．(2022·威海一模)若a>b，则下列不等式成立的是( )A．lna>lnbB．0.3a>0.3bC．a>bD.>6．(2022·湖北利川模拟)设p:|2x＋1|>a.q：>0.使得p是q的必要但不充分条件的实数a的取值范围是( )A．(－∞，0)B．(－∞，－2]C．[－2，3]D．[3，＋∞)7．(2022·四川模拟)设k∈R，若关于x方程x2－kx＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k的取值范围为( )A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.C．(1，3)D．(－∞，2)∪8．(2022·威海一模)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )A．{x|x>2或x<－2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4}D．{x|0<x<4}9．(2022·江西师大模拟)若不等式ax2－3x＋5>0的解集为{x|m<x<1}，则实数m＝________．10．(2022·浙江余姚模拟)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划24\n两年高考真题演练1.(2022·福建)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于( )A．－B．－2C．－D．22．(2022·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )A．3B．2C．－2D．－33．(2022·四川)设实数x，y满足则xy的最大值为( )A.B.C．12D．164．(2022·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A．－3B．1C.D．35．(2022·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元6．(2022·课标全国Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )A．10B．8C．3D．27．(2022·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )A．2B．3C．4D．58．(2022·山东)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋24\nby(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )A．5B．4C.D．29．(2022·安徽)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或－1B．2或C．2或1D．2或－110．(2022·北京)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )A．2B．－2C.D．－11．(2022·广东)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )A．5B．6C．7D．812．(2022·新课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．13．(2022·浙江)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划一年模拟试题精练1．(2022·河南郑州模拟)如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )A．1B．2C．3D．42．(2022·江南十校模拟)已知点A(－2，0)，点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是( )A．5B．3C．2D.3．(2022·江西重点中学模拟)实数x，y满足，若t≤y＋2x恒成立，则t的取值范围是( )24\nA．t≤13B．t≤－5C．t≤－13D．t≤54．(2022·德州一模)已知变量x，y满足约束条件若x＋2y≥－5恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－1]B．[－1，＋∞)C．[－1，1]D．[－1，1)5．(2022·江西赣县模拟)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为8，则ab的最大值为( )A．1B．2C．3D．46．(2022·辽宁师大附中模拟)已知实数x，y满足：z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是( )A.B．[0，5]C．[0，5)D.7．(2022·北京西城模拟)设不等式组表示的平面区域为D.则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是( )A．1B.C.D．58．(2022·黑龙江绥化模拟)已知关于x的方程x2＋(a＋1)x＋a＋2b＋1＝0的两个实根分别为x1，x2，且0<x1<1，x2>1，则的取值范围是________．9．(2022·湖北八校模拟)已知直线l：x＝my＋n(n>0)过点A(5，5)，若可行域的外接圆直径为20，则n＝________．10．(2022·山东菏泽一模)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．11．(2022·河北衡水模拟)已知实数x、y满足则z＝|x＋3y|的最小值________．12．(2022·江西重点中学模拟)设不等式组24\n所表示的平面区域为D.若圆C落在区域D中，则圆C的半径r的最大值为________．13．(2022·威海一模)设x，y满足约束条件则M(x，y)所在平面区域的面积为________．14．(2022·潍坊一模)若x、y满足条件则z＝x＋3y的最大值为________．考点21 基本不等式两年高考真题演练1.(2022·福建)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )A．2B．3C．4D．52．(2022·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋43．(2022·山东)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．4．(2022·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．5．(2022·辽宁)对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．6．(2022·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．7．(2022·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．8．(2022·浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)9．(2022·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.24\n(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．24\n考点21 基本不等式一年模拟试题精练1．(2022·湖北利川模拟)设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A．a＋b>2B．(a－b)＋≥2C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋caD．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|2．(2022·辽宁师大附中模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )A．2B．4C．8D．163．(2022·广东广州模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A．3000B．3300C．3500D．40004．(2022·湖北省荆门模拟)设x∈R,对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界.若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )A．－5B．－4C.D.－5．(2022·河北衡水模拟)给出下列四个命题：①若a<b，则a2<b2；②若a≥b>－1，则≥；③若正整数m、n满足m<n，则≤；④若x>0，则lnx＋≥2.其中正确命题的序号是________．6．(2022·潍坊一模)若α∈，则的最大值为________．7．(2022·山东德州模拟)若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则的最小值为________．8．(2022·潍坊一模)已知a>b>0，ab＝1，则的最小值为________．9．(2022·鹤岗模拟)若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．10．(2022·日照模拟)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围________．11．(2022·江苏省盐城模拟)已知x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，＋的最小值为16，则n的值为________．12．(2022·山东省日照模拟)已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4，或x<1}．24\n(1)求实数a，b的值；(2)若0<x<1,f(x)＝＋，求f(x)的最小值．24\n第六章 不等式考点19 不等式的性质及不等式的解法【两年高考真题演练】1．D [需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．A [由|x－2|＜1得，1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3⇒x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1⇒/1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.]3．B [令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，当m＞2时，对称轴x0＝－，由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，∵≤≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－≤，即2n＋m≤18，∵≤≤9，∴mn≤，由2n＋m＝18且2n＝m，得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.]4．D [∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴0<<.即>>0.又∵a>b>0，∴>，∴<.]5．D [当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＝0，b2＝1，a2＞b2不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件．反之，当a＝－1，b＝0时，a2＝1，b2＝0，即a2＞b2成立，但a＞b不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．综上，“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，应选D.]6．D [由ax<ay(0<a<1)，可得x>y，又因为函数f(x)＝x3在R上递增，所以f(x)>f(y)，即x3>y3.]7．C8．C [由①得，x<－2或x>0，由②得，－1<x<1，因此原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.]9．{x|－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.]24\n10．－3 [由|ax－2|<3，得－1<ax<5.若a≥0，显然不符合题意，当a<0时，解得<x<－，故－＝，＝－，解得a＝－3.]11. [根据题意，得解得－<m<0.]12．(－∞，] [由题意得或即或解得a≤.]13. [由a＋b＋c＝0可得c＝－(a＋b)．又a2＋b2＋c2＝1，所以a2＋b2＋[－(a＋b)]2＝1，整理得2b2＋2ab＋2a2－1＝0.又由a2＋b2＋c2＝1易知0≤b2≤1，－1≤b≤1，因此关于b的方程2b2＋2ab＋2a2－1＝0在[－1，1]上有解，所以解得a≤，即a的最大值是.]【一年模拟试题精练】1．C [因为，M＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，N＝{x|log2x<0}＝{x|0<x<1}，所以M∩N＝{x|0<x<1}，选C.]2．D [利用不等式的性质，选D.]3．B [因为p－q＝＋－a－b＝≤0，所以p≤q，则选B.]4．B [因为不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分条件是Δ＝a2－4a<0，即0<a<4，所以不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是0<a<2，故选B.]5．D6．A [设|2x＋1|>a的解集为A，>0的解集为B＝，因为p是q的必要但不充分条件，所以B⊆A，然后利用排除法选A；]7．B [令f(x)＝x2－kx＋1，因为方程x2－kx＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，224\n)内，所以即k∈.]8．C [由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C]．9．－ [因为不等式ax2－3x＋5>0的解集为{x|m<x<1}，所以a－3＋5＝0，得a＝－2，由－2x2－3x＋5＝0解得x＝1或x＝－，所以m＝－.]10．解 (1)已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，所以即(2)由(1)得原不等式可化为x2－(2＋c)x＋2c<0即(x－2)(x－c)<0所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|2<x<c}当c<2时，所求不等式的解集为{x|c<x<2}当c＝2时，所求不等式的解集为∅.考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划【两年高考真题演练】1．A [如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－，故选A.]2．B [不24\n等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2，0)，由得B(1，1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.]3．A [xy＝×2xy≤≤＝，当且仅当x＝，y＝5时，等号成立，把x＝，y＝5代入约束条件，满足．故xy的最大值为.]4．B [不等式组表示的区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，C点横坐标xC＝－2m，∴S＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1.]5．D [设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：24\n可得目标函数在点A处取到最大值．由得A(2，3)．则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．]6．B [线性目标函数z＝2x－y满足的可行域如图所示．将直线l0：y＝2x平行移动，当直线l0经过点M(5，2)时，直线y＝2x－z在y轴上的截距最小，也就是z取最大值，此时zmax＝2×5－2＝8.]7．B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，作直线l：y＝－x，平移l，由图形可知当l经过可行域中的点A(1，1)时，z取最小值，且zmin＝1＋2×1＝3，故选B.]8．B [约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取最小值时，最优解为(2，1)．所以2a＋b＝2，则b＝2－2a，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8＋20＝5＋4，即当a＝，b＝时，a2＋b2有最小值4.]9．D 10.D24\n11．B [画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l0：y＝－2x，平移直线l0，由图形可知，当l0经过可行域内的点A(2，－1)时，z取最大值，即m＝2×2＋(－1)＝3；当l0经过可行域内的点B(－1，－1)时，z取最小值，即n＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m－n＝3－(－3)＝6.故选B.]12．3 [约束条件的可行域如下图，由＝，则最大值为3.]13. [作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.要使1≤z≤4恒成立，则a>0.作直线l0：y＝－ax，平移l0，最优解可在A(1，0)，B(2，1)处取得．故由1≤z≤4恒成立，可得]【一年模拟试题精练】1．B [不等式组表示的可行域如图，A(1，2)，B(1，－1)，C(3，0)∵目标函数z＝kx－y的最小值为0，∴目标函数z＝kx－y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k－2＝0，则k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3－0＝6，成立；②若在B上取得，则k＋1＝0，则k＝－1，此时，z＝－x－y，在B点取得的应是最大值，故不成立，∴k＝2，故答案为B.]24\n2．D [不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x＋y－2＝0的距离，即|AM|min＝＝.]3．B [不等式组等价于或画出不等式组表示的平面区域，得到z＝y＋2x的最小值为－5，故t≤－5.]4．C [作出满足约束条件的可行域，如图△ABC内部(含边界)，由此可见，必有a≤1，作出直线x＋2y＝－5，由题设△ABC必定在直线x＋2y＝－5的上面，当点A在直线x＋2y＝－5时，a＝－1，所以－1≤a≤1，选C.]5．D [由题意作出其平面区域，24\n则由目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为8，a＋4b＝8，则由a·4b≤得，ab≤4，(当且仅当a＝4，b＝1时，等号成立)．故选D.]6．C [由约束条件作出可行域如图，联立解得∴A(2，－1)，联立，解得∴B.令u＝2x－2y－1，则y＝x－－，由图可知，当y＝x－－经过点A(2，－1)时，直线y＝x－－在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y＝x－－经过点B时，直线y＝x－－在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u＝2×－2×－1＝－，∴－≤u<5，∴z＝|u|∈[0，5)，故选C.]7．B [作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ垂直直线x＋y－1＝0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离最小，24\n最小值为原点到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，故选B.]8.9．1010. [不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，必须使点A位于直线x－2y－2＝0的右下侧，所以，m－2(－m)－2>0，∴m>，所以，答案填：.]11．6 [作出现行约束条件的可行域，如右图所示：|x＋3y|＝×，其中表示可行域内的点到直线x＋3y＝0的距离，易知B(3，1)到直线x＋3y＝0的距离最小为＝，所以|x＋3y|的最小值为6.]24\n12．1 [画出平面区域D，可得到一个直角三角形，要使圆C的半径r最大，只要圆C和直角三角形相内切，由平面几何知识可求得r的最大值为1.]13．e2－2 [画出对应的平面区域，如图所示．M(x，y)所在平面区域的面积为exdx－S△AOB＝ex－×2×1＝e2－e0－1＝e2－2.]14．11 [不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：由z＝x＋3y得：y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距为的一组平行直线，并且在y轴上的截距越大则z越大；由图可知，当直线经过点A时，截距最大；解方程组，得所以当时，z取得最大值：11故答案应填：11.]考点21 基本不等式【两年高考真题演练】1．C [由题意＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝2时，取等号．故选C.]2．D [由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝24\nab，即＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时取等号．故选D.]3. [由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．]4．3 [∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.]5．－26. [由sinA＋sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋b＝2c.故cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．所以cosC的最小值为.]7．160 [设池底长xm，宽ym，则xy＝4，所以y＝，则总造价为：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x＝20＋80，x∈(0，＋∞)．所以f(x)≥20×2＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．]8. [由于AB⊥BC，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝＝20m.过点P作PN⊥BC交BC于N，连接AN(如图)，则∠PAN＝θ，tanθ＝.24\n设NC＝x(x>0)，则BN＝20－x，于是AN＝＝＝，PN＝NC·tan30°＝x，所以tanθ＝＝＝，令＝t，则－＋1＝625t2－40t＋1，当t＝时，625t2－40t＋1取最小值，因此的最小值为＝，这时tanθ的最大值为×＝.]9．(1)1900 (2)100 [(1)l＝6.05，则F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝22，得F≤＝1900(辆/时)，故答案为1900.(2)l＝5，F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝20，得F≤＝2000(辆/时)，增加2000－1900＝100(辆/时)，故答案为100.]【一年模拟试题精练】1．B [(a－b)＋≥2中必须满足a－b>0，故选B.]2．C [∵x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)即A(－2，－1)，∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，24\n∵mn>0，∴m>0，n>0，＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．]3．B [由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)，则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)，故选B.]4．D [因为＋＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝，所以－－≤－，则选D.]5．②③ [①中，若a<b<0时不成立；②若a≥b>－1，则a＋1≥b＋1>0，则a(1＋b)－b(1＋a)＝a－b≥0，即a(1＋b)≥b(1＋a)，∴≥，故②正确；③中正整数m，n满足m<n，有均值不等式得≤，故③正确；④中，0<x<1时，lnx<0，结论不成立．综上，正确命题的序号是②③.]6. [∵α∈，∴tanα∈(0，＋∞)，∴＝＝＝≤＝当且仅当tanα＝，即tanα＝2时，等号成立所以，答案应填.]7．3 [因为正数x，y满足2x＋y－3＝0，所以(2x＋y)＝1，∴＝(2x＋y)＝≥3.]8．2 [∵a>b>0，∴a－b>0∴＝24\n＝(a－b)＋≥2≥2.当且仅当(a－b)＝即：a＝b＋时等号成立．所以答案应填2.]9．4 [由已知得a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4，则2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝4，∴2a＋b＋c的最小值为4.]10．(－4，2) [∵＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥8∵x＋2y≥m2＋2m恒成立，∴m2＋2m<8，求得－4<m<2，故答案为：－4<m<2.]11．4 [∵x>0，y>0，n>0，nx＋y＝1，∴＋＝(nx＋y)＝n＋4＋2＝n＋4＋4，当且仅当y＝2时取等号．∴n＋4＋4＝16，解得n＝4.故答案为：4.]12．解 (1)依题意可得即(2)由(1)知f(x)＝＋，∵0<x<1，∴0<1－x<1,>0，>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．∴f(x)的最小值为9.24
