【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学4.2平面向量基本定理及坐标表示练习一、选择题1．设a＝(sinx，)，b＝(，cosx)，且a∥b，则锐角x＝( )A. B.C.D.解析：∵a＝(sinx，)，b＝(，cosx)，且a∥b，∴sinxcosx－×＝0，即sin2x－＝0.∴sin2x＝1.又∵x为锐角，∴2x＝，x＝.答案：B2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )A.B.C．(3,2)D．(1,3)解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，，由此解得m＝2，n＝，点D，选A.答案：A3．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，设＝λ＋，则实数λ等于( )A. B. C. D．3解析：由＝λ＋，得λ＝－＝，∴与共线．设C(x，)(x＜0)，∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝30°.∴＝tan30°＝.∴x＝－1.∴＝(－1,0)．[来源:学&科&网]∵＝(－3,0)，∴λ＝.4\n答案：C4．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C(x，y)满足＝α＋β，其中α，β∈R，且α＋β＝1，则x，y满足的关系式为( )A．3x＋2y－11＝0B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0解析：由＝α＋β，得(x，y)＝(3α－β，α＋3β)．∴ ∴∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0.答案：D5．若P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )A．{(1，－2)}B．{(－13，－23)}C．{(－2,1)}D．{(－23，－13)}解析：P中，α＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，β＝(1＋2n，－2＋3n)．∴∴此时α＝β＝(－13，－23)．答案：B6．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是( )A．[－6,1]B．[4,8]C．(－∞，1]D．[－1,6]解析：由a＝2b知∴又∵cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2∴－2≤cos2α＋2sinα≤2∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2∴≤m≤2.∴＝＝2－∈[－6,1]．答案：A二、填空题7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得方程3k＝·，解得k＝1.答案：14\n8．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．解析：设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)9．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．解析：＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A、B、C三点共线，∴∥.∴＝.∴2a＋b＝1.∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝时取等号．∴＋的最小值是8.答案：8三、解答题10．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解析：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝－.又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝，或θ＝.11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解析：(1)＝(3,3)，＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；4\n若P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；若P在第二象限，则，解得－＜t＜－.(2)∵＝(1,2)，＝＋＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则＝，而无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．12．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．解析：设M(x0，y0)，N(x，y)．由＝2得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴∵点M(x0，y0)在圆C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.4
