课时提升作业(二十四)平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·广州模拟)若向量等于( )A.(-2,-4) B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)【解析】选A.因为=(4,7),所以=(-4,-7).又=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4),故=(-2,-4).2.已知向量a,b满足|a|=,b=(2,4),则“a=(-1,-2)”是“a∥b”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】先看充分性,即a=(-1,-2)能否推出a∥b,再看必要性,即“a∥b”能否得出a=(-1,-2)即可.【解析】选A.若a=(-1,-2),则b=-2a,显然a∥b成立,故充分条件具备.反之,若a∥b,则b=λa,设a=(x,y),则必有所以y=2x, ①又x2+y2=5, ②由①②得得不出a=(-1,-2),故必要性不具备.因而是充分不必要条件.【加固训练】设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件-9-\nD.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a∥b,得8-(x-1)(x+1)=0,即x2-9=0.解得x=±3.所以x=3时,a∥b,而a∥b时,x还可以等于-3.故x=3是a∥b的充分不必要条件.3.(2022·丽江模拟)已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,则2a-b= ( )A.(4,0) B.(0,4) C.(4,-8) D.(-4,8)【解析】选C.因为向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,所以1×4+2m=0,即m=-2,2a-b=2×(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).4.(2022·兰州模拟)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,则λ+μ的值为( )【解题提示】利用平面向量基本定理,且若A,B,C三点共线,则(λ+μ=1)求解.【解析】选A.因为M为BC上任意一点,所以设(x+y=1).又N为AM中点.【误区警示】本题易出现M为边BC上任意一点这一条件不会用,不会转化,从而误解.5.△ABC中,三内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若向量m=(a+c,b),n=(b-a,c-a),且m∥n,则角C的大小为( )【解析】选B.由m∥n知(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,又cosC=-9-\n0<C<π,故C=.6.(2022·芜湖模拟)在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,S为△ABC的面积,若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,则∠C=( )【解题提示】根据向量平行的坐标公式,建立条件关系,利用余弦定理和三角形的面积公式即可得到结论.【解析】选A.因为向量p=(4,a2+b2-c2),q=(1,S)满足p∥q,所以a2+b2-c2-4S=0,即4S=a2+b2-c2,则4×absinC=a2+b2-c2,即sinC==cosC,则tanC=1,解得∠C=.故选A.7.(2022·临沂模拟)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于☉O外的一点D,若,则m+n的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,0)【解析】选D.因为线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,则因为D在圆外,所以t<-1,又D,A,B共线,故存在λ,μ,使得且λ+μ=1,又所以-9-\n所以m+n=,所以m+n∈(-1,0).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·枣庄模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且满足则= .【解题提示】利用已知条件转化为向量的关系,确定点C位置后可解.【解析】由已知得,即即如图所示:故C为BA的靠A点的三等分点,因而答案:【一题多解】本题还可以用以下方法求解:答案:9.已知向量a=(x,2),b=(4,y),c=(x,y)(x>0,y>0),若a∥b,则|c|的最小值为 .【解析】a∥b⇒xy=8,所以|c|==4(当且仅当x=y=2时取等号).答案:4-9-\n10.已知A(7,1)、B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且,则实数a等于 .【解题提示】设出点C坐标,利用得C点坐标后,代入直线方程可解a.【解析】设C(x,y),则=(x-7,y-1),=(1-x,4-y).因为,所以所以C(3,3).又C点在直线y=ax上,故3=a,得a=2.答案:2(20分钟 40分)1.(5分)(2022·临汾模拟)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( )A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1【解析】选C.若点A,B,C不能构成三角形,则向量共线,因为=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k=0,解得k=1.2.(5分)(2022·徐州模拟)设=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则的最小值为 .【解析】因为A,B,C三点共线,所以.所以2(a-1)-(-b-1)=0,所以2a+b=1.所以-9-\n即b=,a=时取等号.所以的最小值是8.答案:83.(5分)(2022·牡丹江模拟)如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若,则实数m的值为 .【解析】由条件知答案:4.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cosθ,t),(1)若a∥,且||=,求向量的坐标.(2)若a∥,求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.-9-\n【解析】(1)因为=(cosθ-1,t),又a∥,所以2t-cosθ+1=0.所以cosθ-1=2t. ①又因为||=,所以(cosθ-1)2+t2=5. ②由①②得,5t2=5,所以t2=1.所以t=±1.当t=1时,cosθ=3(舍去),当t=-1时,cosθ=-1,所以B(-1,-1),所以=(-1,-1).(2)由(1)可知t=,所以y=cos2θ-cosθ+【加固训练】已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6).(2)因为a=mb+nc,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),(3)因为a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),-9-\n且(a+kc)∥(2b-a),所以2(3+4k)=-5(2+k),解得k=5.(13分)(能力挑战题)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.【解题提示】(1)由向量相等列方程组求a,b的值.(2)把A,B,C三点共线转化为向量共线,由向量共线列关于a,b的等量关系式,再根据基本不等式求a+b的取值范围.【解析】(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以,即(a,0)=(2,2-b),故a=2,b=2.(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得∥,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,因为a>0,b>0,所以2(a+b)=ab≤,即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得a+b≥8或a+b≤0.因为a>0,b>0,所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.当且仅当a=b=4时,“=”成立.【加固训练】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且(t∈R),问:(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在二、四象限角平分线上?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为O(0,0),A(1,2),B(4,5),-9-\n所以=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,只需2+3t=0,t=-;若P在第二、四象限角平分线上,则1+3t=-(2+3t),t=-.(2)若四边形OABP是平行四边形,则即此方程组无解.所以四边形OABP不可能为平行四边形.-9-
