奇偶性A级——基础过关练1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )A B C D【答案】B 【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B．2．函数f(x)＝－x的图象( )A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称【答案】C 【解析】因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．3．(2020年贺州高一期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－3)＝2，则f(3)＝( )A．1B．－2C．3D．2【答案】D 【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝2.故选D．4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A 【解析】由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．5．(2021年义乌高一期末)定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )A．f(3)>f(－4)<f(－π)5
B．f(－π)<f(－4)<f(3)C．f(3)<f(－π)<f(－4)D．f(－4)<f(－π)<f(3)【答案】C 【解析】因为f(x)在R上是偶函数，所以f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4)． 6．(2020年淮安高一期中)已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－，则f(－2)＝________.【答案】－ 【解析】x＞0时，f(x)＝2x－，所以f(2)＝2·2－＝，而f(x)是R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，即f(－2)＝－.7．(2020年宿迁高一期中)已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，则f的值为________．【答案】 【解析】已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋b(－x)＝x2＋bx⇒b＝0，所以f(x)＝x2，所以f＝.8．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________，单调递减区间为________．【答案】 (－∞，0] 【解析】根据题意，有(a－1)＋2a＝0，解得a＝.若f(x)为偶函数，则由f(－x)＝f(x)，得b＝0，所以f(x)＝＋1，递减区间为(－∞，0]．9．(1)如图1，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图2，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图甲为题图1补充后的图象，易知f(3)＝－2.5
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图乙为题图2补充后的图象，易知f(1)>f(3)．B级——能力提升练10．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )A．21B．－21C．26D．－26【答案】B 【解析】设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.11．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )A．f(x)的最大值为B．f(x)在(－1,0)上是增函数C．f(x)＞0的解集为(－1,1)D．f(x)＋2x≥0的解集为[0,3]【答案】AD 【解析】由题意，易得f(x)＝画出f(x)的图象(图略)易知当x＝±时，f(x)取得最大值为，A正确；f(x)在上递增，在上递减，B错误；f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C错误；f(x)＋2x＝当x≥0，由3x－x2≥0，得0≤x≤3，当x<0时，由x－x2≥0，得0≤x≤1，无解，所以f(x)＋2x≥0的解集为[0,3]，D正确．故选AD．12．(2020年赣州高一期中)偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－1，f(－1)＝0，则满足－1≤f(x－2)≤0的x取值范围是( )A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]5
【答案】D 【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，因为在[0，＋∞)上单调递增，所以要求满足－1≤f(x－2)≤0的x取值范围，只需使x－2∈[－1,1]，解得x∈[1,3]．故选D．13．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．【答案】[－6，－3)∪(0,3) 【解析】由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．14．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________________．【答案】f(－2)<f(1)<f(0) 【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，所以f(2)<f(1)<f(0)．又因为f(x)＝－x2＋2为偶函数，所以f(2)＝f(－2)．所以f(－2)<f(1)<f(0)．15．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(1)解：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)．所以f(x)＝(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)＝(x2－x1)·(x2＋x1＋4)．因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x2＋x1＋4>0.所以f(x2)－f(x1)>0.所以f(x1)<f(x2)．所以f(x)是(0，＋∞)上单调递增．C级——探究创新练16．已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0，f(2)＝－1.(1)求证：f(x)是偶函数；5
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)解不等式f(x2－1)＜2.(1)证明：由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，当x1＝1，x2＝－1，得f(－1)＝f(－1)＋f(1)，解得f(1)＝0；当x1＝－1，x2＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．所以f(x)是偶函数．(2)证明：设x1，x2是(0，＋∞)上任意两个变量，且x1＜x2，设x2＝tx1(t＞1)，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(tx1)＝f(x1)－f(x1)－f(t)＝－f(t)．因为当x＞1时，f(x)＜0，所以f(t)＜0，即f(x1)－f(x2)＝－f(t)＞0.所以f(x1)＞f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(3)解：因为f(2)＝－1，令x1＝2，x2＝，则f＝f(2)＋f＝f(1)＝0，即f＝－f(2)＝－(－1)＝1.所以f＝f＝f＋f＝2f＝2×1＝2.故不等式f(x2－1)＜2等价为不等式f(x2－1)＜f.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(x)是偶函数，所以x2－1＜－或x2－1＞，即x2＜或x2＞，即－＜x＜或x＞或x＜－.故不等式的解集为.5
