函数的应用（一）A级——基础过关练1．在一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )A．820元B．840元C．860元D．880元【答案】C 【解析】设y＝kx＋b(k≠0)，则解得k＝－10，b＝9000，则y＝－10x＋9000.由400＝－10x＋9000，得x＝860(元)．2．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A．cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2【答案】D 【解析】设一段长为xcm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为Scm2.分析知0<x<12.则S＝＋＝(x－6)2＋2，当x＝6时，Smin＝2.3．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)【答案】D 【解析】由题意得y＝0.3(4000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1200.4．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )A．B．C．－1D．－1【答案】C 【解析】设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.6
5．如今，物价飞速上涨，某商品2020年零售价比2019年上涨25%，欲控制2021年比2019年只上涨10%，则2021年应比2020年降价( )A．15%B．12%C．10%D．8%【答案】B 【解析】设2021年应比2020年降价x%，则(1＋25%)·(1－x%)＝1＋10%，解得x＝12.6．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为__________________(代金券相当于等价金额)．【答案】f(x)＝(x∈N*) 【解析】当0<x<10时，f(x)＝40x；当10≤x<20时，f(x)＝(40－5)x－10＝35x－10；当20≤x≤40时，f(x)＝(40－10)x－20＝30x－20.所以f(x)＝(x∈N*)．7．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元．【答案】360 【解析】由题意可知，1460＝1400＋20＋40，1400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元)．8．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．【答案】42 【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．9．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．6
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x.把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.所以y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<96时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；当x>96时，y1<y2，使用“如意卡”便宜．B级——能力提升练10．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A．人可在7秒内追上汽车B．人可在10秒内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5米D．人追不上汽车，其间距最少为7米【答案】D 【解析】设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7.故选D．11．某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，要使围出的饲养场的总面积最大，则每个矩形的长宽之比为( )A．B．C．D．【答案】A 【解析】如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB＝x，宽为AD＝y，则4x＋6y＝1，所以y＝(1－4x)，则饲养场的总面积为S＝3xy＝x(1－4x)＝－2＋.6
故当x＝，y＝，即长宽之比为∶＝时，饲养场的总面积最大．12．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.季度1234每千克售价/元19.5520.0520.4519.95某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．【答案】20 【解析】设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m＝＝20时，y取最小值．13．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1690万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为______万元．【答案】1300 【解析】设年增长率为x(x>0)，则×(1＋x)2＝1690，所以1＋x＝，因此2020年预计经营总收入为×＝1300(万元)．14．一种药在病人血液中的含量不低于2g时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m≤4)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(g)随着时间x(h)变化的函数关系式近似为y＝mf(x)，其中f(x)＝(1)若病人一次服用3个单位的药剂，求有效治疗的时间长；(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，6h后再服用n个单位的药剂，要使接下来的2h中能够持续有效治疗，求n的最小值．解：(1)因为m＝3，所以y＝当0≤x<6时，由≥2，解得x≤11，所以0≤x<6；6
当6≤x≤8时，由12－≥2，解得x≤，所以6≤x≤.综上，0≤x≤.故若病人一次服用3个单位的药剂，有效治疗的时间为h.(2)(方法一)当6≤x≤8时，设该病人两次服用药剂后，药剂在血液中的含量为tg，则t＝2×＋n＝8－x＋.因为8－x＋≥2对6≤x≤8恒成立，即n≥对6≤x≤8恒成立，令g(x)＝，则g(x)＝在[6，8]上是单调递增函数．当x＝8时，g(x)取得最大值，所以n≥.所以n的最小值为.(方法二)由方法一知t＝8－x＋，分析知t＝8－x＋在x∈[6，8]上单调递减，故8－8＋≥2，解得n≥.所以n的最小值为.C级——探究创新练15．(2020年浏阳期末)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：第t天6132027M/万股34272013(1)根据提供的图象，求该股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据，求日交易量M(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？6
解：(1)当0≤t＜20时，设函数解析式为P＝at＋b，把点(0，2)和(10，4)代入得解得所以P＝t＋2；当20≤t≤30时，把t＝20代入P＝t＋2，解得P＝6，设函数解析式为P＝mt＋n，把点(20，6)和(30，5)代入得解得所以P＝－t＋8.所以P＝(2)设M＝ct＋d，(c≠0)，把点(6，34)和点(13，27)代入得解得所以M＝－t＋40.(3)因为该股票每股交易价格P＝日交易量M＝－t＋40，所以该股票日交易额y＝PM＝当0≤t＜20时，y＝－t2＋6t＋80，当t＝15时，ymax＝125；当20≤t≤30时，y＝t2－12t＋320，当t＝20时，ymax＝120.综上所述，在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125万元．6
