函数的奇偶性基础过关练题组一 函数奇偶性的判定1.(2021湖南长沙一中高一上阶段性检测)下列函数为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=1|x|B.y=x2+xC.y=2-x2D.y=|x|-22.下列函数不具有奇偶性的是( )A.y=-xB.y=-1xC.y=x-1x+1D.y=x2+23.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数4.下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是( )①f(x)=x2;②f(x)=x3;③f(x)=1-x1+x;④f(x)=1x.A.1,1B.2,2C.3,1D.2,15.已知函数f(x)=x(x+4),x≥0,x(x-4),x<0,则f(x)的奇偶性为( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数6.下列函数中,是偶函数的有 .(填序号) (1)f(x)=x3;(2)f(x)=|x|+1;(3)f(x)=1x2;(4)f(x)=x+1x;(5)f(x)=x2,x∈[-1,2];15
(6)f(x)=x2-1.题组二 奇函数、偶函数的图像特征7.下列图像表示的函数中具有奇偶性的是( )8.(2021河南焦作十一中高一月考)函数f(x)=|x|+x4x2-1的图像关于( )A.y轴对称B.x轴对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称9.函数f(x)=x5+x3+x的图像( )A.关于y轴对称B.关于直线y=x对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称10.已知偶函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,其部分图像如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 . 11.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在[0,3]上的图像如图所示,则满足不等式f(x)g(x)<0的x的取值范围是 . 12.定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图像如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像;(2)比较f(1)与f(3)的大小.15
题组三 函数奇偶性的应用13.如果f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )A.-13B.13C.-12D.1214.若函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=12,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=( )A.0B.1C.52D.515.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x-2),则当x<0时,f(x)的表达式为( )A.f(x)=x(x-2)B.f(x)=x(x+2)C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=-x(x+2)16.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)17.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,则f(-1)= . 18.已知函数f(x)=px2+2q-3x是奇函数,且f(2)=-53,则函数f(x)的解析式为f(x)= . 题组四 奇偶性与单调性的综合应用19.若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数且最小值是1,则它在[2,6]上是( )A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-120.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f13的x的取值范围是( )A.13,23B.13,2315
C.12,23D.12,2321.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递增区间是 . 22.定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围为 . 23.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为 . 24.(2021湖北黄石高一上调研)已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.25.已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)满足f(1)=f(3)=-3.(1)求b,c的值;(2)若函数g(x)是奇函数,当x≥0时,g(x)=f(x).①直接写出g(x)的单调递减区间;②若g(a)>a,求a的取值范围.15
能力提升练一、单项选择题 1.()若函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数,则实数a=( )A.-1B.1C.0D.-22.()定义两种运算:a⊕b=a2-b2,a⊗b=(a-b)2,则函数f(x)=2⊕x(x⊗2)-2为( )A.奇函数B.偶函数C.奇函数且为偶函数D.非奇非偶函数3.(2021浙江温州高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上具有单调性,且f(-2)<f(1),则下列不等式成立的是( )A.f(-1)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<f(-4)C.f(-2)<f(0)<f12D.f(5)<f(-3)<f(-1)4.(2021安徽合肥一六八中学高三上段考,)已知函数f(x)=x2+x+1x2+1,若f(a)=23,则f(-a)=( )A.23B.-23C.43D.-43二、多项选择题5.(2021山东滕州一中月考,)已知f(x)为定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),并且当x<0时,有f(x)<0,则( )A.f(0)=0B.若f(2)=2,则f(-2)=215
C.f(x)在(-∞,+∞)上为增函数D.若f(2)=2,且f(a2)-f(2a-5)>4,则实数a的取值范围为(-∞,1)∪(1,+∞)6.()若f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.y=f(x)f(-x)是偶函数B.y=f(x)|f(-x)|是偶函数C.y=f(x)+f(-x)是偶函数D.y=|f(x)f(-x)|是偶函数三、填空题7.()若定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,又有f(3)=0,则x·f(x)<0的解集为 . 8.()函数f(x)是奇函数,且在[-1,1]上单调递增,f(-1)=-1.(1)f(x)在[-1,1]上的最大值为 ; (2)若f(x)≤t2-2at+1对任意x∈[-1,1]及任意a∈[-1,1]都成立,则实数t的取值范围是 . 四、解答题9.(2021江西科技学院附属中学高一上月考,)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+3x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)的图像,并写出函数f(x)的单调区间.15
10.(2020河南洛阳一高高一上月考,)已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0.答案全解全析15
第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性基础过关练1.D2.C3.A4.D5.B7.B8.A9.C13.B14.C15.D16.C19.C20.A1.D 对于A,令y=f(x)=1|x|,则f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=1|-x|=1|x|=f(x),所以该函数为偶函数,但该函数在(0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,令y=f(x)=x2+x,则f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=x2-x≠f(x),所以该函数不是偶函数,故B错误;对于C,令y=f(x)=2-x2,则f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=2-x2=f(x),所以该函数为偶函数,但该函数在(0,+∞)上单调递减,故C错误;对于D,令y=f(x)=|x|-2,则f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=|x|-2=f(x),所以该函数为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故D正确.2.C 函数具有奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,而选项C中函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故选C.3.A ∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,∴f(-x)=f(x),得b=0,∴g(x)=ax3+cx,∴g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),又∵g(x)的定义域为R,∴g(x)为奇函数.故选A.4.D ①定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),为偶函数;②定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),为奇函数;③定义域为(-1,1],为非奇非偶函数;④定义域为{x|x≠0},且f(-x)=1-x=-1x=-f(x),为奇函数.故奇函数有2个,偶函数有1个,故选D.5.B 若x<0,则-x>0,则f(-x)=-x(-x+4)=x(x-4)=f(x);若x>0,则-x<0,则f(-x)=-x(-x-4)=x(x+4)=f(x),所以f(-x)=f(x),又定义域为R,所以函数f(x)为偶函数.故选B.6.答案 (2)(3)(6)解析 对于(1),定义域为R,且f(-x)=-x3=-f(x),为奇函数;对于(2),定义域为R,且f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),为偶函数;15
对于(3),定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=1(-x)2=1x2=f(x),为偶函数;对于(4),定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-x-1x=-f(x),为奇函数;对于(5),定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,为非奇非偶函数;对于(6),定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),关于原点对称,f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),为偶函数.综上,为偶函数的有(2)(3)(6).7.B 选项A中的图像关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图像表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图像关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.8.A 函数f(x)=|x|+x4x2-1的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,且f(-x)=|-x|+(-x)4(-x)2-1=|x|+x4x2-1=f(x),∴函数f(x)=|x|+x4x2-1为偶函数,图像关于y轴对称.9.C 因为f(x)=x5+x3+x,所以f(-x)=-x5-x3-x=-(x5+x3+x)=-f(x),又因为定义域为R,所以函数f(x)为奇函数,即函数f(x)=x5+x3+x的图像关于坐标原点对称.故选C.10.答案 (-3,0)∪(0,3)解析 利用偶函数的性质并结合已知条件,画出函数f(x)在R上的大致图像:由图像可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3).11.答案 (-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)解析 由f(x)g(x)<0得f(x)>0,g(x)<0或f(x)<0,g(x)>0.由f(x)>0,g(x)<0得0<x<2或-2<x<0,-3<x<-1或0<x<1,得-2<x<-1或0<x<1.由f(x)<0,g(x)>0得-3<x<-2或2<x<3,1<x<3或-1<x<0,得2<x<3,故x∈(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).12.解析 (1)因为f(x)是奇函数,所以其图像关于原点对称,如图所示.15
(2)观察图像,知f(3)<f(1).13.B 依题意得f(-x)=f(x),∴b=0,又∵a-1=-2a,∴a=13,∴a+b=13.故选B.14.C ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1).又f(x+2)=f(x)+f(2),令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2),于是f(2)=2f(1)=1;令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=32,于是f(5)=f(3)+f(2)=52.故选C.15.D ∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).∵当x≥0时,f(x)=x(x-2),∴当x<0,即-x>0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)·(-x-2)]=-x(x+2).故选D.16.C ∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.故选C.17.答案 -3解析 令y=g(x)=f(x)+x2,因为g(x)是奇函数,所以g(-1)=-g(1),即f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12],又因为f(1)=1,所以f(-1)=-3.18.答案 -2x2+23x解析 f(x)的定义域为-∞,q3∪q3,+∞,因为f(x)是奇函数,所以q3=0,得q=0,故f(x)=px2+2-3x,又f(2)=-53,即p×4+2-6=-53,得p=2,因此f(x)=2x2+2-3x=-2x2+23x.19.C ∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.故选C.20.A 由题意得|2x-1|<13,即-13<2x-1<13,解得13<x<23.故选A.21.答案 (-∞,0]解析 因为f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,即f(x)的图像是开口向下的抛物线,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0].22.答案 -1,1215
解析 因为f(x)为偶函数,所以f(1-m)<f(m)可化为f(|1-m|)<f(|m|),又因为f(x)是定义在[0,2]上的减函数,所以|1-m|>|m|,两边平方,得m<12,又因为f(x)的定义域为[-2,2],所以-2≤1-m≤2,-2≤m≤2,解得-1≤m≤2,故-1≤m<12.23.答案 94解析 因为当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,所以当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2,故当x>0时,f(x)=-f(-x)=-x2+3x-2.所以当x∈1,32时,f(x)是增函数;当x∈32,3时,f(x)是减函数.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f32=14,f(x)min=f(3)=-2.所以m=14,n=-2,从而m-n=94.24.解析 (1)当a=0时,函数f(x)=x2的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)=x2+ax的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(-x)2+a-x=x2-ax,f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),此时函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)任取x1,x2∈[1,+∞),且x2>x1,则f(x1)-f(x2)=x12+ax1-x22+ax2=(x12-x22)+ax1-ax2=(x1-x2)(x1+x2)+a(x2-x1)x1x2=(x1-x2)[x1x2(x1+x2)-a]x1x2,因为x2>x1≥1,所以x1x2(x1+x2)>2,x1-x2<0,x1x2>0.因为f(x)为[1,+∞)上的增函数,所以f(x1)-f(x2)<0,所以x1x2(x1+x2)-a>0,所以a<x1x2(x1+x2),故a≤2,15
所以实数a的取值范围是{a|a≤2}.25.解析 (1)由f(1)=f(3)=-3,得1+b+c=-3,9+3b+c=-3,解得b=-4,c=0.(2)①[-2,2].②由(1)知f(x)=x2-4x,则当x≥0时,g(x)=x2-4x;当x<0时,-x>0,则g(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,因为g(x)是奇函数,所以g(x)=-g(-x)=-x2-4x.若g(a)>a,则a≥0,a2-4a>a或a<0,-a2-4a>a,解得a>5或-5<a<0.综上,a的取值范围为(-5,0)∪(5,+∞).能力提升练1.A2.A3.D4.C5.ACD6.ACD一、单项选择题1.A ∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数,∴f(-x)+f(x)=x2-(a+1)x+a-x+x2+(a+1)x+ax=0,即(a+1)x=0,∴a+1=0,解得a=-1.故选A.2.A 由定义知f(x)=4-x2(x-2)2-2=4-x2|x-2|-2,由4-x2≥0且|x-2|-2≠0,得-2≤x<0或0<x≤2,即函数f(x)的定义域为{x|-2≤x<0或0<x≤2},关于原点对称.从而f(x)=4-x22-x-2=-4-x2x,f(-x)=-4-x2-x=-f(x),故f(x)是奇函数.故选A.3.D ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上具有单调性,且f(-2)<f(1)=f(-1),∴函数f(x)在(-∞,0]上为增函数,则f(5)=f(-5)<f(-3)<f(-1)成立.故选D.4.C f(x)=x2+x+1x2+1=1+xx2+1,令g(x)=xx2+1,则g(x)的定义域为R,又g(-x)=-xx2+1=-g(x),所以g(x)是奇函数.又f(a)=1+g(a)=23,解得g(a)=-13,15
所以f(-a)=1+g(-a)=1-g(a)=43.二、多项选择题5.ACD 令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,故A正确;令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,于是f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为f(2)=2,所以f(-2)=-f(2)=-2,故B错误;任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)=-f(x1-x2),由x1-x2<0知,f(x1-x2)<0,所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),所以函数f(x)为R上的增函数,故C正确;因为f(2)=2,所以f(4)=f(2)+f(2)=4,所以f(a2)-f(2a-5)>4等价于f(a2)-f(2a-5)>f(4),即f(a2)>f(2a-5)+f(4),所以f(a2)>f(2a-5+4),所以a2>2a-5+4,即(a-1)2>0,解得a>1或a<1,故D正确.6.ACD A中,令F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;B中,令F(x)=f(x)|f(-x)|,则F(-x)=f(-x)|f(x)|,因为f(x)为任意函数,所以此时F(x)与F(-x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定;C中,令F(x)=f(x)+f(-x),则F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数;D中,令F(x)=|f(x)f(-x)|,则F(-x)=|f(-x)f(x)|=F(x),15
即|f(x)f(-x)|是偶函数.故选ACD.三、填空题7.答案 {x|x<-3或x>3}解析 由题意可画出函数f(x)的大致图像,如图所示.因为x·f(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0,所以x>3;当x<0时,f(x)>0,所以x<-3.综上,x<-3或x>3.8.答案 (1)1 (2){t|t≤-2或t=0或t≥2}解析 (1)∵函数f(x)为奇函数,且在[-1,1]上为增函数,f(-1)=-1,∴f(1)=1,∴f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1.(2)若f(x)≤t2-2at+1对任意x∈[-1,1]都成立,则t2-2at+1≥f(x)max=1,即t2-2at≥0,令φ(a)=t2-2at=(-2t)a+t2,则φ(a)≥0在a∈[-1,1]上恒成立,则φ(1)≥0且φ(-1)≥0,解得t≤-2或t=0或t≥2,故实数t的取值范围为{t|t≤-2或t=0或t≥2}.四、解答题9.解析 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以对任意的x∈R都有f(-x)=-f(x),当x>0时,-x<0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(-x)]=-x2+3x,所以f(x)=-x2+3x,x>0,x2+3x,x≤0.(2)函数f(x)=-x2+3x,x>0,x2+3x,x≤0的图像如图:15
由图知函数f(x)的单调递增区间为-32,32,单调递减区间为-∞,-32,32,+∞.10.解析 (1)因为函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,可得b=0.又因为f12=25,所以12a1+14=25,解得a=1,所以f(x)=x1+x2,x∈(-1,1).(2)证明:设-1<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=x21+x22-x11+x12=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22),因为-1<x1<x2<1,所以-1<x1x2<1,故1-x1x2>0,所以(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)因为f(x)是(-1,1)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(t-1)+f(t)<0等价于f(t-1)<-f(t)=f(-t),又f(x)在(-1,1)上是增函数,所以-1<t-1<1,-1<-t<1,t-1<-t,解得0<t<12,即原不等式的解集为t|0<t<12.15
