阶段性测试题十一(计数原理与概率(理) 概率(文)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③D．①③[答案] C[解析] 从 1,2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶共有三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．2．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板上的概率是( )A．B．C．D．[答案] A[解析] 由几何概型的概率公式可得，P＝＝.3．(文)一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为( )A．B．C．D．[答案] B[解析] 所有基本事件总数为52，事件“摸到一张红心”包含的基本事件数为13，则摸到红心的概率为＝.(理)将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A．18种B．36种C．48种D．60种[答案] D[解析] 当甲一人住一个寝室时有：C×C＝12种，当甲和另一人住一起时有：C×C×C×A＝48.所以有12＋48＝60种．4．(文)现釆用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出-11-\n0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A．0.852B．0.8192C．0.8D．0.75[答案] D[解析] 随机模拟产生的20组随机数，表示至少击中3次的组数为15，所以概率为P＝＝0.75.(理)已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，若P(ξ>8)＝0.4，则P(ξ<0)＝( )A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7[答案] B[解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(ξ>8)＝0.4，∴P(ξ<0)＝P(ξ>8)＝0.4，故选B．5．(文)某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率是，响第2声时被接的概率是，响第3声时被接的概率是，响第4声时被接的概率是，那么电话在响前4声内被接的概率为( )A．B．C．D．[答案] B[解析] P＝＋＋＋＝.(理)(2022·四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30B．20C．15D．10[答案] C[解析] 本题考查了二项式定理和二项展开式的系数，x3的系数就是(1＋x)6中的第三项即为C＝15.6．(文)设函数f(x)＝x2－x＋2，x∈[－5,5]．若从区间[－5,5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为( )A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2[答案] C[解析] 由f(x)＝x2－x－2≤0得：－1≤x≤2，所以从区间[－5,5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为＝0.3.(理)某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有( )-11-\nA．474种B．77种C．464种D．79种[答案] A[解析] 首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A＝504种排法，其中上午连排3节的有3A＝18种，下午连排3节的有2A＝12种，则这位教师一天的课的所有排法有504－18－12＝474种，故选A．7．(文)先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为m，n，则mn是奇数的概率是( )A．B．C．D．[答案] C[解析] 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn是奇数，则m，n都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P＝＝.(理)(2022·武汉期末)若随机变量η的分布列为η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是( )A．x≤2B．1≤x≤2C．1<x≤2D．1<x<2[答案] C[解析] 由随机变量η的分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.8．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外其他特征完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( )A．B．C．D．[答案] C[解析] 取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为＝.9．(2022·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A、B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为( )A．B．C．D．-11-\n[答案] B[解析] 由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)⇒⇒.那么S△ABC＝×10×10sin75°＝×10×10×＝25(3＋)．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为＝＝.10．(文)连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，]的概率是( )A．B．C．D．[答案] C[解析] 基本事件总数为36，由cosθ＝≥0得a·b≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝＝.(理)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件．A．②④B．①③C．②③D．①④[答案] A[解析] 由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；∵P(B|A1)＝＝＝，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．[答案] -11-\n[解析] P＝＋＝.12．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝，现在向该正方形区域内随机的投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是________．[答案] 1－[解析] 斜边为2，且较小的锐角θ＝的直角三角形的面积S＝×2×2×cos×sin＝，记飞镖落在小正方形内为事件A，则P(A)＝＝1－.13．(文)假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为________．[答案] [解析] 将3人排序共包含6个基本事件，由古典概型得P＝.(理)(2022·湖南师大附中月考)将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴4个不同的学校支教，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．[答案] 1080[解析] CCA＝1080.14．(文)集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m>n的概率是________．[答案] [解析] 基本事件总数为5×5＝25个．m＝2时，n＝1；m＝4时，n＝1,3；m＝6时，n＝1,3,5；m＝8时，n＝1,3,5,7；m＝10时，n＝1,3,5,7,9，共15个．故P＝＝.(理)(2022·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．[答案] 60[解析] 本题考查排列组合问题．不同的获奖分两种：一是有一人获两张，一人获一张，共CA＝36，二是三人各获一张，共有A＝24，故共有60种．15．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．[答案] -11-\n[解析] ∵直线与圆有公共点，∴≤1，∴－≤k≤.故所求概率为P＝＝.(理)(2022·浙江名校联考)甲、乙等5名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为________．[答案] [解析] 根据题意，5名志愿者被随机分配到A、B、C、D四个不同岗位，每个岗位至少一人，共有CA＝240种，而ξ＝1,2，则P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，故E(ξ)＝1×＋2×＝.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(文)公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车，张掖市公安局交通管理部门在对我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X(单位：毫克)的统计结果如下表：X[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100，＋∞)人数t12111依据上述材料回答下列问题：(1)求t的值：(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率．[解析] (1)200－6＝194(2)令酒后驾车的司机分别为A、B、C、D，醉酒驾车的司机分别为a，b，则所有抽取的可能(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，D)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，C(C，b)，(a，b)(C，D)，(D，a)，(D，b)则含有醉酒驾车司机概率为＝.(理)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)科研单位相关人数抽取人数A16xB123C8y(1)确定x与y的值；(2)若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率．[解析] (1)依题意得，＝＝，解得x＝4，y＝2.(2)由(1)知从科研单位A抽取了4人，从科研单位C抽取了2人，从中选取2人作专题发言．记“选中的2人都来自科研单位A”为事件M，-11-\n则P(M)＝＝＝，所以选中的2人都来自科研单位A的概率为.17．(本小题满分12分)(文)盒子内装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它的读数x，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取1张卡片，记下它的读数y.试求：(1)x＋y是10的倍数的概率；(2)xy是3的倍数的概率．[解析] 先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对(x，y)共有100个．(1)x＋y是10的倍数的数对包括以下10个：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)．故“x＋y是10的倍数”的概率为P1＝＝0.1.(2)xy是3的倍数，只要x是3的倍数，或y是3的倍数，由于x是3的倍数且y不是3的倍数的数对的个数为21个，而x不是3的倍数且y是3的倍数的数对的个数也为21个，x是3的倍数且y也是3的倍数的数对的个数为9个．故xy是3的倍数的数对的个数为21＋21＋9＝51(个)．故xy是3的倍数的概率为P2＝＝0.51.(理)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求三位同学都没有中奖的概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝.P()＝P()P()P()＝()3＝.故三位同学都没有中奖的概率是.(2)1－P(BC＋AC＋AB＋ABC)＝1－3×()2×－()3＝.或P(＋A＋B＋C)＝.故三位同学中至少有两位没有中奖的概率为.18．(本小题满分12分)一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片．(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；(2)若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．[解析] (1)设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．-11-\n其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以P(A)＝.(2)设B表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为P(B)＝.19．(本小题满分12分)(文)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？说明理由．[解析] (1)甲、乙各出1到5根手指头，共有5×5＝25种可能结果，和为6有5种可能结果．∴P(A)＝＝.(2)B与C不是互斥事件，理由如下：B与C都包含“甲赢一次，乙赢二次”，事件B与事件C可能同时发生，故不是互斥事件．(3)和为偶数有13种可能结果，其概率为P＝>，故这种游戏规则不公平．(理)甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试．在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩(单位：分)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595(1)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)；(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX.[解析] (1)茎叶图如下图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此选派乙参赛更好.甲乙5 856567882 7 5295(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，-11-\nP(X＝2)＝＝.随机变量X的分布列是：X012PEX＝0×＋1×＋2×＝.20．(本小题满分13分)一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：买饭时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个学生开始买饭时计时．(理)(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率；(2)X表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X的分布列及数学期望．(文)(1)求第2分钟末没有人买到晚饭的概率；(2)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．[解析] (理)设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，则事件A对应三种情形：①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2，X＝0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5X＝1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟或第一个学生买饭所需的时间为2分钟．所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49，X＝2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟．所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.(文)(1)记“第2分钟末没有人买到晚饭”为A事件，即是第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P(A)＝P(Y>2)＝0.5.(2)A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”则事件A对应三种情形：①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③-11-\n第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.21．(本小题满分14分)(文)(2022·四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，C．(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．[解析] 思路分析：(1)先列出所有的抽取情况，共3×3×3＝27种，只有1＋1＝2,1＋2＝3,2＋1＝3共3种，求得概率．(2)利用对立事件求解．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝＝.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P()＝1－＝.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.(理)(2022·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？[解析] (1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，-11-\np3＝P(X>120)＝＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝()4＋4×()3×()＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形，由于水库年入值量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(Y≥80)＝p2＋p3＝0.8，因此得Y的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当x>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p1＝0.1，由此得Y的分布列如下Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．-11-
