阶段性测试题十(统计与概率)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2022·湖南师大附中月考)我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A．2 B．3 C．4 D．5[答案] B[解析] 从24个班中抽取4个班，抽样间隔为6，设抽到的最小编号为x，则x＋(x＋6)＋(x＋12)＋(x＋18)＝4x＋36＝48，∴x＝3.2．(2022·河南开封二十二校联考)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图(其中a、b为数字0～9中的一个)，分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为x1，x2，得分的方差分别为y1，y2，则下列结论正确的是( )A．x1>x2，y1<y2 B．x1>x2，y1>y2C．x1<x2，y1<y2 D．x1<x2，y1>y2[答案] C[解析] 由题计算可知x1＝84，y1＝，x2＝85，y2＝，∴x1<x2，y1<y2.3．(文)一排有4个座位，两对夫妻就座，各夫妻分别相邻的概率为( )A． B． C． D．[答案] B[解析] 4个人任意就座于4个座位，共有4×3×2×1＝24种不同方法，其中两对夫妻各自相邻的有2×2×2＝8种，故所求概率P＝＝，故选B．(理)(2022·开滦二中期中)把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( )A．168 B．96 C．72 D．144[答案] D-15-\n[解析] 由题意知，这4个人中有2个人各拿到2张连续编号的票，这6张票按有2组各2张连续编号票分4堆，共有以下6种不同分法：12,34,5,6；12,3,45,6；12,3,4,56；1,23,45,6；1,23,4,56；1,2,34,56.对于每一种分法发给4个人有A种方法，∴共有不同分法种数6A＝144种，故选D．4．(2022·河南淇县一中模拟)在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为( )A． B． C． D．[答案] C[解析] 设AC＝x，则0<x<12，CB＝12－x，∴S＝x(12－x)<32，∴x<4或x>8，∴所求概率P＝＝.5．(文)(2022·湖南师大附中月考)已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得散点图中分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则x＝13时，y＝( )A．1.45 B．13.8 C．13 D．12.8[答案] B[解析] 依题意得＝(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又回归直线＝0.95x＋a必过样本中心点(，)，即有5.25＝0.95×4＋a⇒a＝1.45.从而当x＝13时，有y＝0.95×13＋1.45＝13.8.故选B．(理)(2022·江西师大附中、临川一中联考)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋bx，若i＝20，i＝30，则b的值为( )A．1 B．3 C．－3 D．－1[答案] B[解析] ∵i＝20，i＝30，∴＝2，＝3，∵回归方程为＝－3＋bx，∴3＝－3＋2b，∴b＝3，故选B．6．(文)(2022·合肥第一次质检)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是( )A． B． C． D．1[答案] C-15-\n[解析] a的取值有3种可能，对于a的每一种取值，b都有3种可能取值，∴集合B中方程的系数取法有3×3＝9种可能，∵A∩B＝B，∴B⊆A，要使方程x2－ax＋b＝0有实数解，应有Δ＝a2－4b≥0，满足此不等式的取法只有这三种可能，其中只有不满足B⊆A，又当Δ＝a2－4b<0，时，B＝∅，满足B⊆A，∴所求概率P＝，故选C．(理)(2022·浙江省五校联考)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，并且两个奇数数字之间恰有一个偶数数字，这样的五位数有( )A．12个 B．28个 C．36个 D．48个[答案] B[解析] 当0在1和3之间时，有A·A＝12个；当2(或4)在1和3之间时，有C·A·C·A＝16个，共12＋16＝28个，故选B．7．(文)(2022·赣州市博雅文化学校月考)袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为( )A． B． C． D．[答案] B[解析] 从5个球中任取2个，共有10种不同取法，两球同色的情形为4种，∴所求概率P＝＝.(理)(2022·开滦二中期中)二项式(x2＋)10的展开式中的常数项是( )A．第10项 B．第9项C．第8项 D．第7项[答案] B[解析] 通项Tr＋1＝C·(x2)10－r·()r＝2r·Cx20－，令20－＝0得r＝8，∴常数项为第9项．8．(2022·南海中学、普宁二中、中山一中联考)下图是一容量为100的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为( )A．11 B．11.5 -15-\nC．12 D．12.5[答案] C[解析] 由题意，[5,10]的样本有5×0.06×100＝30，[10,15]的样本有5×0.1×100＝50，由于[10,15]的组中值为12.5，所以由图可估计样本重量的中位数为12.5－×(15－10)＝12.9．(文)(2022·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.8 B．84,1.6C．85,4 D．85,1.6[答案] D[解析] 去掉最高分93分和最低分79后，所剩数据的平均分为：＝80＋(4×3＋6＋7)＝85，方差为：S2＝[(85－84)2×3＋(85－86)2＋(85－87)2]＝1.6.(理)(2022·豫南九校二联)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<1)的值为( )A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6[答案] B[解析] 由条件知，正态分布的对称轴为ξ＝1，∴P(ξ>2)＝1－P(ξ<0)＝0.2，P(0<ξ<1)＝(1－2P(ξ<0))＝0.3.10．(文)(2022·宝鸡市质检)定义函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数c，对任意x1∈D，存在唯一x2∈D的，使得＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c，已知f(x)＝lgx，x∈[10,100]，则函数f(x)＝lgx在x∈[10,100]上的均值为( )A． B． C． D．10[答案] A[解析] 根据定义，函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数c，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c，令x1x2＝10×100＝1000，当x1∈[10,100]时，选定x2＝∈[10,100]可得：c＝＝，故选A．(理)(2022·洛阳市期中)已知x，y都是区间[0，-15-\n]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的概率是( )A． B． C． D．[答案] C[解析] 如图，正方形OABC的面积S＝，阴影部分的面积S1＝∫0sinxdx＝(－cosx)|0＝1，∴所求概率P＝＝.11．(文)(2022·安徽示范高中联考)给出下列五个命题：①将A、B、C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( )A．①②④ B．②④⑤C．②③④ D．③④⑤[答案] B[解析] ①样本容量为9÷＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③乙＝＝7，s＝[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s>s，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为＝0.4，⑤是真命题．(理)(2022·江西三县联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )-15-\nA． B． C． D．[答案] C[解析] 旧球个数X的可能取值为3,4,5,6，相应的取到新球的个数依次为ξ＝0,1,2,3，ξ服从超几何分布，∴P(X＝4)＝P(ξ＝1)＝＝.12．(文)(2022·许昌、平顶山、新乡调研)从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为( )A． B． C． D．[答案] C[解析] ∵O到正六边形各顶点的距离都等于其边长，∴距离大于边长的两点，只在其顶点中产生，从每个顶点能连三条大于边长的线，故共有＝9条，从7个点中任取2个共有21种取法，∴所求概率P＝＝.(理)(2022·贵州遵义航天中学二模)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作a≡b(modm)，已知a＝1＋2C＋22C＋…＋220C，且a≡b(mod10)，则b的值可为( )A．2022 B．2022 C．2022 D．2022[答案] A[解析] a＝1＋2C＋22C＋…＋220C＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，∵a≡b(mod10)，∴b的个位必须为1，故选A．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2022·韶关市十校联考)某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，现用分层抽样的方法从该地区中小学生中抽取243人作为样本，那么抽取的小学生的人数是________个．[答案] 110[解析] 由分层抽样定义知，分层抽样是按比例抽样，∴小学生应抽取×243＝110人．-15-\n(理)(2022·普宁二中、中山一中、航天中学联考)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．[答案] 180[解析] 甲、乙都不选时，有A＝60种；甲、乙两个专业选1个时，有CCA＝120种，根据分类计数原理，可得共有60＋120＝180种不同的填报专业志愿的方法．14．(2022·焦作市期中)学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估记这1000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生数是________．[答案] 800[解析] 成绩不低于60分的学生频率为(0.024＋0.028＋0.020＋0.008)×10＝0.8，∴用频率作为概率的估计值可得这1000名学生中，成绩不低于60分的学生数是1000×0.8＝800.15．(文)(2022·湖南师大附中月考)从区间[－5,5]内随机取出一个数x，从区间[－3,3]内随机取出一个数y，则使得|x|＋|y|≤4的概率为________．[答案] [解析] 点(x，y)所在区域为长方形ABCD，其面积S＝60，其中阴影部分的面积为S1＝2×(2＋8)×3×＝30.∴所求概率为P＝＝.(理)(2022·湖南师大附中月考)将6位志愿者分成4组，其中两组各2人，另两组各1人，分赴4个不同的学校支教，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．[答案] 1080[解析] CCA＝1080.-15-\n16．(文)(2022·宜春中学、新余四中联考)过椭圆＋＝1的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为________．[答案] [解析] 过椭圆＋＝1的左焦点作直线与椭圆相交，最小弦长为通径＝2，最大弦长为长轴长8，弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，共有2×5＋2＝12种情况，所取弦长不超过4，有2×2＋1＝5种情况，∴所求概率为P＝.(理)(2022·湖北武汉调研)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．[答案] [解析] 首先求第一象限内阴影部分的面积，1－x2dx＝1－x3|＝，根据对称性以及几何概型的相关知识可知，所求概率为P＝＝.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2022·北京朝阳区期末)甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试．在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩(单位：分)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595(1)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)；(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率．[解析] (1)茎叶图如下图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此选派乙参赛更好.-15-\n(2)设事件A：抽到的成绩中至少有一个高于90分．从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：{58,65}，{58,82}，{58,87}，{58,85}，{58,95}，{55,65}，{55,82}，{55,87}，{55,85}，{55,95}，{76,65}，{76,82}，{76,87}，{76,85}，{76,95}，{88,65}，{88,82}，{88,87}，{88,85}，{88,95}，{92,65}，{92,85}，{92,87}，{92,85}，{92,95}，共25个．事件A包含的基本事件有{58,95}，{55,95}，{76,95}，{88,95}，{92,65}，{92,82}，{92,87}，{92,85}，{92,95}共9个．所以P(A)＝，即抽到的成绩中至少有一个高于90分的概率为.18．(本小题满分12分)(2022·江西三县联考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该场地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲乙二人停车付费之和为28元的概率．[解析] (1)设“一次停车不超过1小时”的事件为A，“一次停车不超过2小时”的事件为B，“一次停车2到3小时”的事件为C，“一次停车3到4小时”的事件为D，由已知P(B)＝，P(C＋D)＝，又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝，故甲停车付费6元的概率为.(2)甲、乙停车时间的基本事件有16个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，“停车付费之和为28元”的事件有3个：(1,3)，(2,2)，(3,1)，所以概率为P＝.19．(本小题满分12分)(文)(2022·山东师大附中模拟)某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组．(1)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的职员得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由．-15-\n[解析] (1)P＝＝＝，所以某职员被抽到的概率为.设有x名男职员，则＝，所以x＝3，所以男、女职员的人数分别为3、1.(2)把3名男职员和1名女职员记为a1，a2，a3，b，则选取两名职员的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，其中有一名女职员的有6种．所以选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为P＝＝.(3)1＝＝71，2＝＝71，s＝＝4，s＝＝3.2，∵s<s，∴第二次做试验的职员做的实验更稳定．(理)(2022·江西师大附中、临川一中联考)为了增强中学生的法律意识，某中学高三年级组织了普法知识竞赛．并随机抽取了A、B两个班中各5名学生的成绩，成绩如下表所示：A班8788919193B班8589919293(1)根据表中的数据，分别求出A、B两个班成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个班更为稳定？(2)用简单随机抽样方法从B班5名学生中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名学生的分数差值至少是4分的概率．[解析] (1)＝(87＋88＋91＋91＋93)＝90，＝(85＋89＋91＋92＋93)＝90，S＝[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝，S＝[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.A班法律知识的掌握更为稳定．(2)从B班抽取两名学生的成绩分数，所有基本事件有：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)共有10个基本事件；抽取的2名学生的分数差值至少是4分的有(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)共5个基本事件．∴P＝＝.20．(本小题满分12分)(文)(2022·韶关市十校联考)对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师年龄5年以下5年至10年10年至20年20年以上教师人数8103018经常使用信息技术24104-15-\n实施教学的人数(1)求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率．(2)在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？[解析] (1)该校教师总人数为66人，其中经常使用信息技术教学的教师有20人，不经常使用信息技术实施教学的有46人，所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率P＝＝.(2)在教龄10年以下且经常使用信息技术教学的教师中，教龄在5年以下的有2人分别记为A1，A2；教龄5年至10年的有4人分别记为B1，B2，B3，B4，从这6人中任选2人的情况有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．设其中恰有一人教龄在5年以下为事件A，则事件A包含的基本事件有8种．所以P(A)＝.答：在教龄10年以下，且经常使用信息技术教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是.(理)(2022·洛阳市期中)某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．(1)求恰有2条线路没有被选择的概率；(2)设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)恰有2条线路没有被选择的概率为P＝＝.(2)ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为：ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.21．(本小题满分12分)(文)(2022·石光中学段测)下图是根据部分城市某年9月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11.-15-\n(1)求抽取的样本个数和样本数据的众数；(2)若用分层抽样的方法在数据组[21.5,22.5)和[25.5，26.5]中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个城市，求恰好抽到2个城市在同一组中的概率．[解析] (1)设抽取的样本个数为N，则＝(0.10＋0.12)×1，解之得N＝50.由图知样本数据的众数为＝24.所以抽取的样本个数为50，样本数据的众数为24.(2)由图知气温数据组[21.5,22.5)与[25.5,26.5]的概率比为0.12∶0.18＝2∶3，又用分层抽样共抽取5个城市，所以在[21.5,22.5)中抽取5×＝2个城市，不妨设为甲、乙；在[25.5,26.5]中抽取5×＝3个城市，不妨设为A，B，C．于是在这5个城市中抽到的2个城市有如下情况：甲乙、甲A、甲B、甲C、乙A、乙B、乙C、AB、AC、BC，共10种情况.2个城市在同一气温数据组的有：甲乙、AB、AC、BC，共4种情况．所以在这5个城市中恰好抽到2个城市在同一气温数据组的概率P＝＝.(理)(2022·豫南九校联考)某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有500名学生参加测试，参加测试的学生成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求获得参赛资格的学生人数，并且根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(2)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止答题，答对3题者方可参加复赛．已知学生甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E(ξ)．-15-\n[解析] (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人．设500名学生的平均成绩为，则＝(40×0.0065＋60×0.0140＋80×0.0170＋100×0.0050＋120×0.0043＋140×0.0032)×20＝78.48分．(2)设学生甲答对每道题的概率为P(A)，则(1－P(A))2＝，∴P(A)＝.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5，则P(ξ＝3)＝()3＋()3，P(ξ＝4)＝C()()3＋C()()3＝，P(ξ＝5)＝C()2()2＝.所以ξ的分布列为ξ345PEξ＝×3＋×4＋×5＝.22．(本小题满分14分)(文)(2022·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635-15-\n[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有(0.02＋0.005)×10×100＝25人，其中女性10人，男性25－10＝15人，因此非体育迷中女性55－10＝45人，男性30人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知“超级体育迷”有0.005×10×100＝5人，从而一切可能的基本事件组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性j＝1,2.Ω由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.(理)(2022·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择11月10日至11月21日中的某一天到达该市，并停留3天(包括到达的当天)．(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；日期10111213141516空气质量指数853056153221220150日期17181920212223空气质量指数859515012498210179[解析] 设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝10,11，…，21)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i＝j)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A14∪A15，所以P(B)＝P(A12∪A15)＝＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝P(A13∪A14)＝＝，P(X＝1)＝P(A12∪A15∪A18∪A19∪A20∪A21)＝＝，P(X＝2)＝P(A11∪A16∪A17)＝＝，P(X＝3)＝P(A10)＝，所以X的分布列为：-15-\nX0123P∴X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.-15-
