【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第8节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直(理)北师大版一、选择题1．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )A．(，－1，－1)B．(6，－2，－2)C．(4,2,2)D．(－1,1,4)[答案] D[解析] ＝(2,1,1)，＝(3，－1，－1)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．得取y＝1，则n＝(0,1，－1)．D选项中(－1,1,4)·(0,1，－1)＝1－4＝－3≠0.故选D．2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为( )A．，－，4 B．，－，4C．，－2,4D．4，，－15[答案] B[解析] ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，则解得3．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)[答案] A[解析] ∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥，在选项A中，＝(1,4,1)，-8-\n∴n·＝0.4．(2022·泰安质检)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三点，向量n＝(1,1,1)，则以n为方向向量直线l与平面ABC的关系是( )A．垂直B．不垂直C．平行D．以上都有可能[答案] A[解析] 易知＝(－1,1,0)，(－1,0,1)，·n＝－1×1＋1×1＋0＝0，·n＝－1×1＋1×0＋1×1＝0，则⊥n，⊥n，即AB⊥l，AC⊥l，又AB与AC是平面ABC内两相交直线，∴l⊥平面ABC．5．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案] C[解析] ∵n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，∴cos<n1，n2>＝＝＝≠0且≠±1.∴α，β相交但不垂直．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为( )A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对[答案] C[解析] 分别以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则-8-\nA(2，0,0)，M(，2,0)，P(0,1，)，则＝(－，2,0)，＝(，1，－)，所以·＝0，所以AM⊥PM，故选C．二、填空题7．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝(1，，2)，且l⊥α，则m＝________.[答案] 4[解析] 平面α的法向量即为平面的法线的方向向量，又l⊥α，∴e∥n，即e＝λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)＝λ(1，，2)，∴∴m＝4.8．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.[答案] －4[解析] 由α⊥β可知a·b＝0，即x＋1×(－2)＋2×3＝0，解得x＝－4.9．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．[答案] (，－，)或(－，，－)[解析] 设平面ABC的法向量n＝(x，y,1)则n⊥且n⊥，即n·＝0，且n·＝0，从而，即∴n＝(，－1,1)，单位法向量为±＝±(，－，)．三、解答题10．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．-8-\n求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为(，，0)、(0,0,1)．∴＝(－，－，1)．又点A、M的坐标分别是(，，0)、(，，1)，∴＝(－，－，1)．∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE平面BDE，AM⃘平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝(－，－，1)，∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)．∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.一、选择题1．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为( )A．－1,2B．1，－2-8-\nC．1,2D．－1，－2[答案] A[解析] c＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)．∵c与a及b都垂直，∴即即解得2．如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1.M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )A．(1,1,1)B．C．D．[答案] C[解析] 设BD∩AC＝O，连接EO，由题意可知EO∥AM.∴M为EF的中点．∴M，故选C．二、填空题3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．[答案] 平行-8-\n[解析] 分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．∵A1M＝AN＝a，∴M(a，a，)，N(a，a，a)．∴＝(－，0，a)．又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)．∴·＝0.∴⊥.∵是平面BB1C1C的法向量，又∵MN⃘平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．4．(2022·烟台模拟)已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为________．[答案] [解析] b·a＝(1,1,1)·(－1,2,3)＝，则a在向量b上的投影为.三、解答题5．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.[分析] 利用向量法以A为坐标原点，建立空间直角坐标系．[解析] 如图，以A为原点建立空间直角坐标系[A；，，]，令AB＝AA1＝4，-8-\n则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)，C(0,4,0)．(1)取AB中点N，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，∴＝，又DE、NC不共线．DE∥NC，又NC在平面ABC内，故DE∥平面ABC．(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)．·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，则⊥，∴B1F⊥EF，∵·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴⊥，即B1F⊥AF.又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.6．(2022·福州调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．[解析] (1)以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．-8-\n设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝(－，1，－1)，＝(a,0,1)，＝(，1,0)．∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a)．要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⃘平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.-8-
