【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第8章第4节空间中的平行关系北师大版一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．4[答案] B[解析] a∩α＝A时，a⃘α，故①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任一条直线都无公共点，④正确；长方体中的相交直线A1C1与B1D1都与面ABCD平行，所以⑤正确．2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] B[解析] ①由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.④由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，所以AB∥平面MNP.-10-\n3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，mα，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⃘α，则m∥α[答案] D[解析] 如图(1)，β∥α，mβ，nβ，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，mα，m∥l，故C错．D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵nα，m⃘α，∴m∥α.4．(文)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β[答案] C[解析] 若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，A错误；若m∥α，m∥β，则α与β可能平行也可能相交，B错误；若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的性质定理可得n⊥α，C正确；若m∥α，α⊥β，则m可能在β内可能平行，也可能垂直，D错误．(理)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若b⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β-10-\n[答案] B[解析] 本题考查了空间线面关系．若α∩β＝m，l∥m，l⃘α，l⃘β，则A错．垂直于同一直线的两平面平行，B正确．当l⊥α，l∥β时α⊥β，C错，若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，D错．5．(2022·聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )A．⇒c⊥βB．⇒b⊥cC．⇒c∥αD．⇒b⊥α[答案] D[解析] 由a∥α，b⊥α可得b与α的位置关系有：b∥α，bα，b与α相交，所以D不正确．6．(文)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A、C、D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B，∴B项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B．(理)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案] C-10-\n[解析] ∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC．又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．故选项A、B、D正确，C错误．二、填空题7．(文)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．[答案] [解析] 由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.(理)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[答案] [解析] 本题考查线面平行．由EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，知EF∥AC．所以由E是中点知EF＝AC＝.8．(文)在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．[答案] 平面ABC与平面ABD[解析] 连BN延长交CD于点E，连AM并延长也与CD交于E点(因为E为CD中点)，又＝-10-\n＝，故MN∥AB．所以MN∥平面ABC且MN∥平面ABD．(理)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．[答案] 6[解析] 过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．9．已知平面α∩β＝m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是________．[答案] m∥n[解析] 在α内取点A∉m，则点A与n确定一平面θ，且θ∩α＝A．同理可作平面γ且γ∩β＝B．∵n∥α，n∥β，∴n∥a，n∥B．∴a∥B．∵a⃘β，bβ，∴a∥β.∵aα，α∩β＝m，∴a∥m，∴n∥m.三、解答题10．(2022·安徽高考)如图，四棱锥P－ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．[解析] ∵BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，-10-\n∴GH∥BC．同理可证EF∥BC，∴GH∥EF.(2)连接AC，BD交于一点O，BC交EF于K，连接OP、GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可证PO⊥BD，又∵BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，∴PO⊥平面ABCD，又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⃘平面GEFH，∴PO∥平面GEFH.又∵平面GEFH∩平面PBD＝GK，∴PO∥GK，且GK⊥平面ABCD，∴GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．∵AB＝8，EB＝2，∴EBAB＝KBDB＝14，∴KB＝DB＝OB，即K为OB的中点，又∵PO∥GK，∴GK＝PO，即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.又由已知得OB＝4，PO＝＝＝6.∴GK＝3.∴四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.一、选择题1．(文)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] B-10-\n[解析] 两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B．(理)已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[分析] 本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案] B[解析] 命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．2．(文)已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是( )A．①③B．②④C．①④D．②③[答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m∥n，m∥α时，n∥α或nα，故③错；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正确．(理)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β[答案] D[解析] ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m，从而B一定正确．∵A∈α，AB∥l，lα，∴B∈α.-10-\n∴AB⃘β，lβ.∴AB∥β.故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定正确．二、填空题3．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；④⇒a∥α；⑤⇒α∥β；⑥⇒a∥α.其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．[答案] ①④⑤⑥[解析] ②中a，b的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．4．(文)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.[答案] Q为CC1的中点[解析] 当Q为CC1的中点时，QB∥PA．又D1B⃘平面PAO，QB⃘平面PAO，所以D1B∥平面PAO.QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.(理)如图所示，ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AEEB＝________.[答案] mn[解析] 如图所示，设AE＝a，EB＝b，由EF∥AC可得EF＝.同理EH＝.∵EF＝EH，∴＝，于是＝.三、解答题5．(文)如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE-10-\n[解析] 取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM＝CD．又∵AE∥CD且AE＝CD，∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．∴AF∥ME，又∵AF⃘平面PCE，EM平面PCE，∴AF∥平面PCE.(理)如图，已知α∥β，异面直线AB，CD和平面α，β分别交于A，B，C，D四点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：(1)E，F，G，H共面；(2)平面EFGH∥平面α.[解析] (1)∵E，H分别是AB，DA的中点，∴EH綊BD．同理，FG綊BD，∴FG綊EH.∴四边形EFGH是平行四边形，∴E，F，G，H共面．(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′.∵α∥β，∴AD′∥BD．又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，同理，EF∥平面α，又EH∩EF＝E，EH平面EFGH，EF平面EFGH，∴平面EFGH∥平面α.6．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．[解析] (1)由题设知，BB1綊DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.-10-\n又BD⃘平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C．又A1B⃘平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1.又∵S△ABD＝××＝1，∴V三棱柱ABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.-10-
