【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第9章第2节两直线的位置关系与距离公式北师大版一、选择题1．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为( )A．－3B．－C．2D．3[答案] D[解析] 由(－)×＝－1，得：a＝3.2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的取是( )A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2[答案] C[解析] 由(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0且－2×1－(4－k)×3≠0，知k＝3或5.3．(文)(2022·成都检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )A．B．C．4D．8[答案] B[解析] ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝，故选B．(理)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A．1B．2C．D．4[答案] B-6-\n[解析] 由直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行可得＝.∴m＝8，直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，∴d＝＝＝2.4．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0D．3x＋y－5＝0[答案] A[解析] 由题意可知OA与所求直线l垂直．因为kOA＝2，所以kl＝－，故l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.5．(文)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了平面中两条直线平行的充要条件，由题意知：＝≠，所以a＝1.两直线平行的条件一定要考虑全面，不要以为只要斜率相等即可．(理)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件．若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．此类题目要特别注意充分不必要与必要不充分两个条件．6．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l-6-\n垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝( )A．－4B．－2C．0D．2[答案] B[解析] l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1，b＝－2，∴a＋b＝－2.二、填空题7．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且距离等于的直线方程是______________．[答案] 2x＋3y＋18＝0或2x＋3y－8＝0[解析] ∵所求直线l与已知直线l0：2x＋3y＋5＝0平行，∴可设l为2x＋3y＋C＝0，由l与l0的距离为，得＝，解得C＝18或C＝－8，∴所求直线l的方程为2x＋3y＋18＝0或2x＋3y－8＝0.8．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．[答案] －4[解析] 因为两直线的交点在y轴上，所以当x＝0时，y1＝－，y2＝，则y1＝y2，即－＝，故C＝－4.9．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a＝________.[答案] 3[解析] 由题意知，a(a－1)－2×3＝0得a＝－2或a＝3，当a＝－2时，两直线重合，舍去，∴a＝3.三、解答题10．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.[解析] (1)由条件知m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0，∴m＝1，n＝7.(2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.由8×(－1)－n·m≠0，得或.-6-\n即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2；(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2，又－＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.[点评] 若直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的充要条件是A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1；而l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.一、选择题1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)[答案] B[解析] 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，∴直线l2恒过定点(0,2)．2．已知两直线l1：mx＋y－2＝0和l2：(m＋2)x－3y＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为( )A．1或－3B．－1或3C．2或D．－2或[答案] A[解析] ∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，∴两条直线垂直，∴·(－m)＝－1，∴m＝1或m＝－3.二、填空题3．若y＝a|x|的图像与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同的交点，则a的取值范围是________．[答案] (1，＋∞)[解析] 如图，要使y＝a|x|的图像与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同的交点，则a>1.-6-\n4．已知＋＝1(a>0，b>0)，则点(0，b)到直线3x－4y－a＝0的距离的最小值是________．[答案] [解析] d＝＝.∵a>0，b>0，∴d＝＝b＋a＝(b＋a)(＋)＝＋＋＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2×＝，当且仅当＝且＋＝1，即a＝3，b＝时等号成立．三、解答题5．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[解析] (1)由题意得，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，∴k1＝k2.即＝1－a③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2.∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数．即＝b④由③④联立解得或.6．(文)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y-6-\n＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．[解析] 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.(理)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．[解析] 如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·＝－1.∴a＋3b－12＝0.① 又由于线段BB′的中点坐标为(，)，且在直线l上，∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解得即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．此时点P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．-6-
