【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第7章第2节一元二次不等式的解法及其应用北师大版一、选择题1．不等式≤0的解集为( )A．{x|－1≤x≤2}B．{x|－1<x≤2}C．{x|－1≤x<2}D．{x|－1<x<2}[答案] B[解析] 原不等式⇔⇔－1<x≤2.2．已知不等式x2－x≤0的解集为M，且集合N＝{x|－1<x<1}，则M∩N为( )A．[0,1)B．(0,1)C．[0,1]D．(－1,0][答案] A[解析] 由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以M∩N为[0,1)．选A．3．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为( )A．3B．－1C．2D．3或－1[答案] D[解析] ∵x2－2x－3<0，∴－1<x<3.∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1.4．(文)(2022·全国大纲卷)不等式组的解集为( )A．{x|－2<x<－1}B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<1}D．{x|x>1}[答案] C[解析] 本题考查不等式(组)的解法．由得∴0<x<1，注意解不等式组求交集．(理)不等式≤x－2的解集是( )A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)[答案] B[解析] ①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；-7-\n②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．5．函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1,1)上存在x0，使f(x0)＝0，则a的取值范围是( )A．－1<a<B．a>C．a<－1或a>D．a<－1[答案] C[分析] a≠0时，f(x)为一次函数，故由x0∈(－1,1)时，f(x0)＝0知，f(－1)与f(1)异号．[解析] 由题意得f(－1)·f(1)<0，即(－3a＋1－2a)·(3a＋1－2a)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，∴a<－1或a>.故选C．6．(文)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )A．B．C．D．[答案] A[解析] ∵a>0，∴不等式x2－2ax－8a2<0化为(x＋2a)(x－4a)<0，∴－2a<x<4a，∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，∴a＝.(理)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30]D．[20,30][答案] C[解析] 本题考查三角形相似及一元二次不等式的解法．设矩形的另一条边长为t，由相似知识得＝，∴t＝40－x，所以(40－x)x≥300，即x2－40x＋300≤0，-7-\n解得10≤x≤30，故选C．二、填空题7．若不等式－4<2x－3<4与不等式x2＋px＋q<0的解集相同，则＝________.[答案] [解析] 由－4<2x－3<4，得－<x<.由题意得－＝－p，(－)×＝q，∴＝.8．(文)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值值范围是________．[答案] (0,8)[解析] ∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝(－a)2－4·2a<0，即a2－8a<0,0<a<8.故a的取值范围是(0,8)(理)若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．[答案] －1<a<1[解析] 令f(x)＝x2＋ax＋a2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f(0)<0，即a2－1<0，∴－1<a<1.9．关于x的不等式>0的解集为P，不等式log2(x2－1)≤1的解集为Q.若Q⊆P，则a的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] 当a≥－1时，P＝(－∞，－1)∪(a，＋∞)，当a<－1时，P＝(－∞，a)∪(－1，＋∞)，Q：∴∴Q＝[－，－1)∪(1，)．∵Q⊆P，P＝(－∞，－1)∪(a，＋∞)．∴－1≤a≤1.三、解答题10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．-7-\n[解析] 解法1：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为x＝A．①当a∈(－∞，－1)时，结合图像知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a，恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.解法2：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或，解得－3≤a≤1.一、选择题1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为( )A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－＝>0，即，解得x>2，故选C．2．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)[答案] C[解析] ∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．因此f(－2)f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3)<0.∴－<a<－.又a∈Z，∴a＝－1，不等式f(x)>1即为－x2－x>0，-7-\n解得－1<x<0.故选C．二、填空题3．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________________．[答案] (－5,0)∪(5，＋∞)[解析] 本题考查函数性质和解不等式应用．当x>0时，x2－4x>x，∴x>5，当x＝0时，f(0)＝0，不合题意．当x<0时，－x>0时，f(－x)＝(－x)2＋4x＝x2＋4x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x>x，∴－5<x<0，综上f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．4．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．[答案] 20[解析] 由题意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x的最小值为20.三、解答题5．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f′＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由已知得f′(0)＝f′(1)＝0，即解得∴f′(x)＝3ax2－3ax，∴f′＝－＝，∴a＝－2，∴f(x)＝－2x3＋3x2.-7-\n(2)令f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，∴x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，∴0<m≤.6．(文)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)c为何值时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R?[解析] 由题意知f(x)的图像开口向下，即a<0，交x轴于两点A(－3,0)和B(2,0)，对称轴为x＝－(如图)，那么x＝－3或x＝2时，y＝0.代入原式解得(舍)或.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(1)由图可知f(x)在[0,1]内单调递减，∴ymin＝f(1)＝12，ymax＝f(0)＝18，值域为[12,18]．(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，即Δ≤0，∴c≤－.(理)已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.[解析] (1)当x∈[－3,1]时，f(x)＝(x＋2)|x－2|＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4.∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9.于是－5≤－x2＋4≤4.即函数f(x)在[－3,1]上的最大值等于4.∴要使不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)．(2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)|x－2|－3x>0.当x≥2时，原不等式等价于x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.又∵x≥2，∴x>4.当x<2时，原不等式等价于4－x2－3x>0，-7-\n即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.满足x<2.综上可知，原不等式的解集为{x|x>4或－4<x<1}．-7-
