【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第6章第3节等比数列北师大版一、选择题1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )A．64B．81C．128D．243[答案] A[解析] 设数列{an}的公比为q，则q＝＝2，∴由a1＋a1q＝3得a1＝1，∴a7＝1×27－1＝64.2．(文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝2，则a1＝( )A．2B．C．D．[答案] B[解析] ∵a3·a9＝(a6)2＝2a，∴()2＝2，又{an}的公比为正数，∴q＝＝.∴a1＝＝.(理)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )A．5B．7C．6D．4[答案] A[解析] ∵{an}为正项等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，且a4a5a6>0，∴a4a5a6＝＝5，故选A．3．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝( )A．1B．－3C．1或－3D．－1或3[答案] A[解析] 由a2a6＝16，得a＝16⇒a4＝±4，又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，-8-\n∵q4>0，∴a4＝4.∴q2＝1，＝q10＝1.4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[答案] C[解析] 由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得a＝22n，∵an>0，∴an＝2n.易得结论．5．(文)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )A．7B．5C．－5D．－7[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，a4＝4，a7＝－2⇔a1＝－8，a10＝1⇔a1＋a10＝－7，a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇔a1＋a10＝－7.(理)(2022·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为( )A．B．C．D．[答案] C[解析] 依题意，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，an＝2n－1也适合a1.因此，an＝2n－1，＝2，数列{an}是等比数列．数列{an}的奇数项的前n项和为＝.6．等比数列{an}的公比为q，则“a1>0，且q>1”是“对于任意正整数n，都有an＋1>an”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件-8-\nD．既非充分又非必要条件[答案] A[解析] 易知，当a1>0且q>1时，an>0，所以＝q>1，表明an＋1>an；若对任意自然数n，都有an＋1>an成立，当an>0时，同除an得q>1，但当an<0时，同除an得0<q<1.也可举反例，如an＝－.二、填空题7．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.[答案] 11 [解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，设{an}公比为q，则an＋2＋an＋1－2an＝a1qn＋1＋a1qn－2a1qn－1＝0，所以q2＋q－2＝0，即q＝－2，q＝1(舍去)，∴S5＝＝11.8．在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于________．[答案] (4n－1)[解析] 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，∴a1＝1，a2＝2，q＝2又∵{an}是等比数列∴{a}也是等比数列，首项为1，公比为4∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．9．(文)(2022·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.[答案] 5[解析] 本题考查等比中项及对数的运算．∵an>0，a1a5＝4，{an}为等比数列，∴a＝4，∴a3＝2.∴log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5-8-\n＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a＝log225＝5.(理)(2022·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.[答案] 50[解析] ∵a10a11＋a9a12＝2e5，∴a1·a20＝e5.又∵lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]＝ln(e5)10＝lne50＝50.注意等比数列性质：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，对数的性质logamn＝nlogam.三、解答题10．(文)(2022·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．[解析] (1)∵Sn＝(n∈N*)∴Sn－1＝(n≥2)∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝3n－2当n＝1时，a1＝S1＝＝1，也符合上式∴an＝3n－2，(n∈N*)(2)要使a1，an，am成等比数列，只需a＝a1.am即(3n－2)2＝1·(3m－2)即m＝3n2－4n＋2，∵n>1，∴3n2－4n＋2>1，而此时，m∈N*，且m>n∴对任意的n>1，都存在m∈N*，使a，an，am成等比数列．(理)(2022·江西高考)已知首项都是1的两个数列{an}、{bn}(bn≠0，n∈N*)，满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.[解析] (1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.-8-\n所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1.∴数列{an}前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1.∴3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n.相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n.所以Sn＝(n－1)3n＋1.一、选择题1．(文)在正项等比数列{an}中，若a2·a4·a6·a8·a10＝32，则log2a7－log2a8＝( )A．B．C．D．[答案]D[解析] ∵a2·a4·a6·a8·a10＝32，∴a6＝2，∴log2a7－log2a8＝log2＝log2＝log2＝log2＝.(理)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )A．B．C．D．或[答案] B[解析] 设{an}的公比为q，则q>0.∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a1＋a2，∴a1q2＝a1＋a1q，∵a1≠0，∴1＋q＝q2，又∵q>0，∴q＝，∴＝q＝.2．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋-8-\n的最小值为( )A．B．C．D．不存在[答案] A[解析] 因为a7＝a6＋2a5，所以q2－q－2＝0，q＝2或q＝－1(舍去)．又＝＝4a1，所以m＋n＝6.则＋＝(＋)(m＋n)＝(1＋＋＋4)≥.当且仅当＝，即n＝2m时，等号成立．此时m＝2，n＝4.故选A．二、填空题3．(2022·安徽高考)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.[答案] 1[解析] 设数列{an}的公差为d，则a1＝a3－2d，a5＝a3＋2d，由题意得，(a1＋1)(a5＋5)＝(a3＋3)2，即(a3－2d＋1)·(a3＋2d＋5)＝(a3＋3)2，整理，得(d＋1)2＝0，∴d＝－1，则q＝＝＝1，故q＝1.4．若数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则an等于________．[答案] 2n－1[解析] an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即相加：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝2n－2＋a1＝2n－1.三、解答题5．(文)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；-8-\n(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．[解析] (1)因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.(理)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．[解析] (1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q>0，故q＝，由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝，故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.故＝－＝－2(－)，＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.所以数列{}的前n项和为－.6．(文)(2022·湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．-8-\n[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.(理)(2022·新课标Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<.[解析] (1)∵a1＝1，an＋1＝3an＋1，n∈N*.∴an＋1＋＝3an＋1＋＝3(an＋)．∴{an＋}是首项为a1＋＝，公比为3的等比数列．(2)由(1)知，an＋＝，∴an＝，＝.＝1，当n>1时，＝<.∴＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝＝(1－)<.所以，＋＋＋…＋<，n∈N*.-8-
