【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第1节角的概念的推广与任意角的三角函数新人教A版一、选择题1．(文)角α的终边经过点P(－1,2)，则sinα＝( )A． B．C．－ D．－[答案] B[解析] 由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.(理)(2022·河南南阳一模)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α等于( )A．80° B．70°C．20° D．10°[答案] B[解析] tanα＝＝＝＝tan70°，所以锐角α＝70°.2．(文)(2022·湖北襄阳四中联考)已知角x的终边上一点坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为( )A． B．C． D．[答案] B[解析] ∵cosx＝sin＝，sinx＝cos＝－，∴x＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝，故选B．(理)已知cosθ＝，角α的终边经过点P(sin2θ，sin4θ)，则的值为( )A．－1 B．1-10-\nC．7 D．[答案] B[解析] ∵cosθ＝，∴tanα＝＝2cos2θ＝2×(2cos2θ－1)＝－1，∴＝＝＝1.3．(文)点P(sin2022°，tan2022°)位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案] B[解析] ∵2022°＝360°×5＋214°为第三象限角，∴tan2022°>0，sin2022°<0，∴点P在第二象限．(理)如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A．2022 B．4028C．2022 D．2022[答案] D[解析] ∵f(n)＝2sin＋1＝2cos＋1.由S＝S＋f(n)及n＝n＋1知此程序框图是计算数列an＝2cos＋1的前2022项的和．即S＝＋＋＋…＋＝2＋2022＝2×335×cos＋cos＋cos-10-\n＋cos＋cos＋cos＋2cos＋cos＋cos＋cos＋2022＝2×(－)＋2022＝2022.4．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A．5 B．2 C．3 D．4[答案] B[解析] 设扇形的半径为R，圆心角为α，则有2R＋Rα＝R2α，即2＋α＝Rα整理得R＝2＋，由于≠0，∴R≠2.5．(2022·山东济南质检)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )A．－ B．－C． D．[答案] B[解析] ∵角θ的终边在直线y＝2x上，∴tanθ＝2，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.6．(文)(2022·大纲全国理，3)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b[答案] C[解析] ∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝，∴>sin35°>sin33°，∴c>b>a，选C．(理)记a＝sin(cos2022°)，b＝sin(sin2022°)，c＝cos(sin2022°)，d＝cos(cos2022°)，则a、b、c、d中最大的是( )A．a B．b C．c D．d[答案] C-10-\n[解析] 注意到2022°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2022°＝－sin30°＝－，cos2022°＝－cos30°＝－，－<－<0，－<－<0,0<<<，cos>cos>0，a＝sin(－)＝－sin<0，b＝sin(－)＝－sin<0，c＝cos(－)＝cos>0，d＝cos(－)＝cos>0，∴c>d，因此选C．二、填空题7．(2022·鞍山模拟)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．[答案] 2[解析] 设扇形的半径为r，由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2(rad)．8．(2022·昆明模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是角α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.[答案] [解析] 由条件知x＝－4m，y＝3m，r＝＝5|m|＝5m，∴sinα＝＝，cosα＝＝－，∴2sinα＋cosα＝.9．(2022·南昌调研)若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________．[答案] (－1，)[解析] 设P(x，y)，则x＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝.故点P的坐标为(－1，)．10．(2022·河北唐山一模)已知sin(α＋)＝，则cos(－2α)的值为________．-10-\n[答案] －[解析] ∵sin(α＋)＝cos[－(α＋)]＝cos(－α)＝，∴cos(－2α)＝2cos2(－α)－1＝－.一、选择题11．(2022·芜湖调研)若sinθ·cosθ＝，则tanθ＋的值是( )A．－2 B．2C．±2 D．[答案] B[解析] tanθ＋＝＋＝＝2.12．若sinαtanα<0，且<0，则角α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三角限角 D．第四象限角[答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可．由sinαtanα<0可知sinα、tanα异号，从而α为第二或第三象限角．由<0可知cosα、tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．13．(2022·安徽理，6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f()＝( )A． B．C．0 D．－[答案] A[解析] 由题意意f()＝f()＋sin＝f()＋sin＋sin＝f(-10-\n)＋sin＋sin＋sin＝0＋－＋＝.14．(2022·四川成都二诊)已知过定点(2,0)的直线与抛物线x2＝y相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若x1，x2是方程x2＋xsinα－cosα＝0的两个不相等实数根，则tanα的值是( )A． B．－C．2 D．－2[答案] A[解析] ∵x1，x2是方程x2＋xsinα－cosα＝0的两个不相等实数根，∴故过定点(2,0)的直线斜率k＝＝x1＋x2＝－sinα.∴直线方程为y－0＝－sinα(x－2)，即y＋xsinα－2sinα＝0.①又x2＝y，②联立①②得方程x2＋xsinα－2sinα＝0，∴－cosα＝－2sinα，即cosα＝2sinα，得tanα＝.故选A．15．(文)设0≤θ<2π，如果sinθ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( )A．0<θ< B．0<θ<或<θ<πC．<θ<π D．<θ<[答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sinθ>0，∴0<θ<π.又由cos2θ>0得，2kπ－<2θ<2kπ＋，即kπ－<θ<kπ＋(k∈Z)．∵0<θ<π，∴θ的取值范围是0<θ<或<θ<π.(理)(2022·河北教学质量监测)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是( )A． B．C． D．[答案] C-10-\n[解析] 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝.二、填空题16．(2022·江西七校一联)若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则cos(2α＋)的值等于________．[答案] －[解析] 因为点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，所以sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.cos(2α＋)＝sin2α＝2sinαcosα＝＝＝－.三、解答题17．(文)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x.求sinα＋的值．[解析] ∵P(x，－)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x.∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数的定义，有sinα＝－，＝－，∴sinα＋＝－－＝－；当x＝－时，同理可求得sinα＋＝.(理)(2022·浙江苍南中学月考)(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点P(x，)，且cosα＝x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.[解析] (1)∵r＝，∴cosα＝，∴x＝，解得x＝0或x＝±.∵90°<α<180°，∴x<0，因此x＝－.-10-\n故r＝2，sinα＝＝，tanα＝＝－.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－，又∵tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝；当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－.18．(文)(2022·安徽合肥第二次质量检测)如图所示，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B(x2，y2)，f(α)＝x1－x2.(1)若角α为锐角，求f(α)的取值范围；(2)比较f(2)与f(3)的大小．[解析] (1)如图所示，∠AOB＝.由三角函数定义可知x1＝cosα，x2＝cos(α＋)，f(α)＝x1－x2＝cosα－cos(α＋)＝cosα－cosαcos＋sinαsin＝cosα＋sinα＝sin(α＋)．-10-\n由角α为锐角知0<α<，∴<α＋<.∴<sin(α＋)≤1，∴<sin(α＋)≤，∴<f(α)≤.(2)f(2)＝sin(2＋)，f(3)＝sin(3＋)，∵<2＋<3＋<，函数y＝sinx在(，)上单调减，∴f(2)>f(3)．(理)(2022·江苏南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．(1)若x1＝，求x2；(2)过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．[解析] (1)因为x1＝，y1>0，所以y1＝＝.所以sinα＝，cosα＝.所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－.(2)S1＝sinαcosα＝sin2α.因为α∈(，)，所以α＋∈(，)．所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α.因为S1＝S2，-10-\n所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－.所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－.因为α∈(，)，所以tanα＝2.-10-
