两条直线的交点坐标两点间的距离公式基础过关练题组一 两条直线的交点坐标1.经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,且经过原点的直线的方程是( )A.19x-9y=0B.9x+19y=0C.3x+19y=0D.19x-3y=02.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为( )A.12B.10C.-8D.-63.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是( )A.(2,2)B.(2,-2)C.(-2,2)D.(-2,-2)4.直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为 . 5.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试)已知直线l1:ax+y+a+1=0与l2:2x+(a-1)y+3=0.(1)当a=0时,求直线l1与l2的交点坐标;(2)若l1∥l2,求a的值.题组二 两点间的距离6.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则|AC||CB|等于( )A.13B.12C.3D.27.点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为( )A.41B.41C.39D.398.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为 . 9.在直线x-y+4=0上有一点P,它到点M(-2,-4)与到点N(4,6)的距离相等,则点P的坐标为 . 10.如图,已知△ABC的三个顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.8,题组三 两直线交点、两点间距离公式的应用11.已知点A(-1,2),B(2,7),线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,则|PA|=( )A.1B.2C.2D.2212.若光线从点A(-3,5)射到直线l:3x-4y+4=0上,反射后经过点B(2,15),则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为( )A.52B.513C.517D.5513.直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为 . 能力提升练题组一 过两条直线交点的直线系及其应用1.(2020河北唐山一中高二上期中,)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与2x+y-5=0垂直的直线方程是( )A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=02.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)已知m∈R,动直线l1:x+my-1=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,若l1与l2交于点P(异于A,B两点),则|PA|+|PB|的最大值为( )A.5B.25C.10D.2103.(多选)(2021山东菏泽郓城一中高二上第一次月考,)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是( )A.l2始终过定点23,13B.若l1∥l2,则a=1或a=-3C.若l1⊥l2,则a=0或a=2D.若a>0,则l1始终不过第三象限4.(2021山西怀仁一中高二上月考,)已知直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0.(1)求证:无论m为何实数,直线l恒过一定点M;(2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.题组二 对称问题及其应用5.()已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线所在直线方程为y=x+1,则AC所在直线方程为( )A.y=2x+4B.y=12x-3C.x-2y-1=0D.3x+y+1=08,6.()若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )A.(4,-2)B.(0,4)C.(-2,4)D.(0,2)7.(2020安徽六安一中高二上期中,)入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为( )A.x-2y+3=0B.2x-y+3=0C.2x+y-3=0D.2x-y+6=08.(2021安徽六安舒城中学高二上月考,)已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为( )A.4B.25C.23D.229.()(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标;(2)求函数f(x)=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.题组三 交点、两点间距离公式的综合应用10.()如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,点A,C分别在x轴,y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的距离的最大值是( )A.3B.6C.1+2D.511.()已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是( )A.10B.355C.6D.358,答案全解全析基础过关练1.C 由x-3y+4=0,2x+y+5=0,解得x=-197,y=37.故过点-197,37和原点的直线方程为y=-319x,即3x+19y=0.2.B 将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.3.C 由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2.故所求交点坐标是(-2,2).4.答案 ±6解析 在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=k3,将0,k3代入x-ky+12=0,解得k=±6.5.解析 (1)当a=0时,直线l1:y+1=0,l2:2x-y+3=0,联立y+1=0,2x-y+3=0,解得x=-2,y=-1,故直线l1与l2的交点坐标为(-2,-1).(2)因为l1∥l2,所以a(a-1)-2=0,3-(a-1)(a+1)≠0,即(a-2)(a+1)=0,4-a2≠0,解得a=-1.6.D |AC|=42,|CB|=22,故|AC||CB|=2.7.B 设M(x,y),由中点坐标公式得x-22=1,y+52=0,解得x=4,y=-5.所以点M(4,-5).则|OM|=42+(-5)2=41.8.答案 1或-5解析 由两点间距离公式得(-2-a)2+(-1-3)2=52,所以(a+2)2=9,所以a+2=±3,即a=1或a=-5.9.答案 -32,52解析 设点P的坐标是(a,a+4),由题意可知|PM|=|PN|,即(a+2)2+(a+4+4)2=(a-4)2+(a+4-6)2,解得a=-32.故点P的坐标是-32,52.10.解析 ∵|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=52=213,|AC|=(1+3)2+(7-1)2=52=213,|BC|=(1-3)2+(7+3)2=104=226,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,8,∴△ABC是等腰直角三角形.11.D 线段AB的中点坐标为12,2+72,线段AB所在直线的斜率kAB=7-22-(-1)=7-23,∴线段AB的垂直平分线方程为y-2+72=-37-2x-12.令y=0,得-2+72=-37-2x-12,解得x=1,因此,P(1,0).∴|PA|=(1+1)2+22=22,故选D.12.B 设A(-3,5)关于直线l:3x-4y+4=0的对称点为A'(x',y'),则根据题意有3×x'-32-4×y'+52+4=0,y'-5x'+3×34=-1,解得x'=3,y'=-3.易知所求的路程即为|A'B|,由两点间的距离公式得所经过的路程为|A'B|=(3-2)2+(-3-15)2=513.13.答案 9解析 易知直线l1、l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3).由3x-y+12=0,3x+2y-6=0,解得x=-2,y=6.故所求三角形的面积S=12×(12-3)×|-2|=9.能力提升练1.D 解法一:由x+y-3=0,2x-y=0,得x=1,y=2.因此两直线的交点为(1,2).又直线2x+y-5=0的斜率为-2,∴待求直线的斜率为12,∴待求的直线方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,故选D.解法二:设要求的直线方程为(x+y-3)+λ(2x-y)=0,即(1+2λ)x+(1-λ)y-3=0.又该直线与直线2x+y-5=0垂直,∴2(1+2λ)+1×(1-λ)=0,解得λ=-1.因此所求直线方程为-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.故选D.8,2.B 由题意可得A(1,0),B(2,3),∵直线l1与直线l2的斜率之积等于-1,∴直线x+my-1=0和直线mx-y-2m+3=0垂直,一条直线斜率为0，另一条斜率不存在时，两条直线也垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥(|PA|+|PB|)22,当且仅当|PA|=|PB|=5时取等号,∴|PA|+|PB|≤25,∴|PA|+|PB|的最大值为25,故选B.3.ACD 易得l2:a(x-2y)+3y-1=0过点23,13,故A正确;当a=1时,l1,l2重合,故B错误;由l1⊥l2得1×a+a×(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C正确;若a>0,则l1:y=-1ax+1始终过(0,1),斜率为负,∴l1始终不过第三象限,故D正确.故选ACD.4.解析 (1)证明:直线l的一般式方程整理得(x-y+2)+m(2x+y+7)=0,令x-y+2=0,2x+y+7=0,解得x=-3,y=-1.故无论m为何实数,直线l恒过定点M(-3,-1).(2)由题意可知,当直线l1的斜率不存在或等于零时,显然不合题意.当直线l1的斜率存在,且不为零时,设直线l1的方程为y=k(x+3)-1,设直线l1与y轴,x轴的交点分别为A,B,令x=0,则y=3k-1;令y=0,则x=1k-3,∴A(0,3k-1),B1k-3,0.∵夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,∴点M为线段AB的中点,即3k-12=-1,121k-3=-3,解得k=-13,则直线l1的方程为y=-13x-2,即x+3y+6=0.5.C 设B关于直线y=x+1的对称点为B'(x,y),则y-2x+1=-1,y+22=x-12+1,解得x=1,y=0,∴B'(1,0).又B'在直线AC上,∴直线AC的方程为y-10-1=x-31-3,即x-2y-1=0.6.D 由l1:y=k(x-4),得直线l1过定点A(4,0).又l1与l2关于点(2,1)对称,因此,点A(4,0)关于点(2,1)对称的点B(x,y)一定在直线l2上.8,由4+x2=2,0+y2=1,得x=0,y=2,∴直线l2恒过定点(0,2),故选D.7.B 设直线l1:2x-y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A,B.如图所示，则点A关于y轴的对称点为A₁，点B关于x轴的对称点B₁（0,3）在反射光线l₃上，其方程为,即2x-y+3=0,故选B.8.B 设点A关于直线y=x和y=0的对称点分别为B(1,3),C(3,-1),∴|BC|=25,∵|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,∴最短周长为25,故选B.9.解析 (1)设P(x,y)(x,y∈R),则|PA|=(x-1)2+(y-1)2,|PB|=(x-2)2+(y+2)2,∴|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+2y2+2y+10=2x-322+2y+122+5.∴当x=32,y=-12时,|PA|2+|PB|2的值最小.故|PA|2+|PB|2的最小值为5,此时P32,-12.(2)f(x)=(x-2)2+9+(x-6)2+1=(x-2)2+(0-3)2+(x-6)2+(0-1)2.设A(2,3),B(6,1),P(x,0),如图,将上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点为A'(2,-3),∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=42,∴|PA|+|PB|≥42.∴f(x)的最小值为42.8,10.C 取AC的中点D,连接OD,BD,显然OD,BD的长都为定值,如图所示.∵|OB|≤|OD|+|BD|,∴当O,D,B三点共线时,|OB|取得最大值.∵|BD|=12+12=2,|OD|=|AD|=12|AC|=1,∴点B到原点O的距离的最大值为1+2.故选C.11.B 由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0过定点M(1,2).∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,∴y=1-2x,∴|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5x+152+95,故当x=-15时,|MP|取得最小值355,故选B.8
