点到直线的距离公式两条平行直线间的距离1.（2021北京怀柔一中高二期中）两条平行直线l1：x+y-1=0与l2：x+y+1=0之间的距离为()A.2B.1C.22D.3答案：A2.（2021北京怀柔一中高二期中）设点M(x,y)是直线x+y-2=0上的动点，O为原点，则|OM|的最小值是()A.1B.2C.2D.3答案：B3.（2021河北张家口尚义一中高二期中）若点P(2,1)到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的方程为()A.x=0B.3x+4y=0C.x=0或3x+4y=0D.x=0或3x-4y=0答案：C4.（2021北京一零一中学高二期中）点(0,1)到直线y=kx-1的距离的最大值是()A.1B.2C.3D.2答案：D5.（2020四川内江高二期末）已知点M(1,3)到直线l：mx+y-1=0的距离等于1，则实数m等于()A.34B.43C.-43D.-34答案：D6.（2021四川南充阆中中学高二期中）若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+2=0平行，则它们之间的距离为()A.1B.12C.25D.45答案：D5
7.（2021安徽马鞍山二中高二段考）已知直线l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0(m∈R)过定点A，则点A到直线m：x+y=1的距离是()A.4B.22C.2D.2答案：B8.（2021江西南昌南铁一中高二期中）若两条平行直线l1：x+2y+20=0与l2：x+2y+c=0间的距离为25，则c等于()A.0或40B.10或30C.-20或10D.-20或40答案：B9.（2020山西大同平城一中高二期中）已知直线l：ax+y-1=0和点A(1,2)，B(3,6).若点A，B到直线l的距离相等，则实数a的值为.答案：-2或-32素养提升练10.（多选题）（2021山东滕州一中高二月考）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使得|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是()A.y=x+1B.y=2C.y=43xD.y=2x+1答案：B;C解析：点M(5,0)到直线y=x+1的距离d=62=32＞4，故A中直线不是；点M(5,0)到直线y=2的距离d=3＜4，故B中直线是；点M(5,0)到直线y=43x的距离d=43×51+(43)2=4，故C中直线是；点M(5,0)到直线y=2x+1的距离d=2×5+11+22=1155＞4，故D中直线不是.故选BC.11.（2021安徽亳州高二月考）正方形ABCD的中心为点M(-1,0)，AB边所在直线的方程是x+3y-5=0，则CD边所在直线的方程为()A.x+3y+7=0B.3x-y-3=0C.3x-y+9=0D.x+3y-27=0答案：A5
解析：点M(-1,0)到直线x+3y-5=0的距离d=|-1-5|1+9=3105，设与AB边平行的CD边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠-5)，则点M(-1,0)到直线x+3y+m=0的距离d=|-1+m|1+9=3105，解得m=-5（舍去）或m=7，所以CD边所在直线的方程是x+3y+7=0.12.（多选题）（2021江苏泰州姜堰二中高二期中）如图，直线l1,l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x,y分别表示点P到l1,l2的距离，则称(x,y)为点P的“距离坐标”，则下列说法正确的是()A.距离坐标为(0,0)的点有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上答案：A;B;C解析：若距离坐标为(0,0)，即P到两条直线的距离都为0，则P为两直线的交点，即距离坐标为(0,0)的点只有1个，故A中说法正确；若距离坐标为(0,1)，即P到直线l1的距离为0，到直线l2的距离为1，则点P在直线l1上，且到直线l2的距离为1，符合条件的点有2个，故B中说法正确；若距离坐标为(1,2)，即P到直线l1的距离为1，到直线l2的距离为2，则有4个符合条件的点，即与直线l1相距为1的两条平行直线和与直线l2相距为2的两条平行直线的交点，故C中说法正确；若距离坐标为(x,x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线上，故D中说法错误.13.已知在△ABC中，A(3,2)，B(-1,5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为.答案：(-1,0)或(53,8)解析：设点C到直线AB的距离为d，由题意知|AB|=[3-(-1)]2+(2-5)2=5，∵S△ABC=12|AB|⋅d=12×5×d=10,∴d=4，5
易知直线AB的方程为y-25-2=x-3-1-3，即3x+4y-17=0.∵点C在直线3x-y+3=0上，∴设C(x0,3x0+3)，∴d=|3x0+4(3x0+3)-17|32+42=|15x0-5|5=|3x0-1|=4，∴3x0-1=±4，∴x0=-1或x0=53，∴点C的坐标为(-1,0)或(53,8).14.（2021四川简阳阳安中学高二月考）如图所示，已知△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点A(1,4)，B(3,2)，点C在直线x-2y+6=0上.（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）设直线CD与y轴交于点D(0,3)，求△ACD的面积.答案：（1）因为△ABC是以AB为底边的等腰三角形，CE⊥AB，所以E为AB的中点，所以E(2,3)，因为kAB=-1，所以kCE=1，所以AB边上的高CE所在直线方程为y-3=x-2，即x-y+1=0.（2）联立得x-y+1=0,x-2y+6=0,解得x=4,y=5,所以C(4,5)，所以直线AC的方程为y-45-4=x-14-1，即x-3y+11=0，因为D(0,3)，所以点D到直线AC的距离d=|-9+11|10=105，又|AC|=10，所以S△ACD=12|AC|×d=12×10×105=1.创新拓展练15.如图，已知点A(4,0)，B(0,2)，直线l过原点，且A、B两点位于直线l的两侧，过A、B作直线l的垂线，分别交l于C、D两点.5
（1）当C、D重合时，求直线l的方程；（2）当|AC|=23|BD|时，求线段CD的长.命题分析本题考查了直线方程的求法，考查了直线与直线垂直的性质、点到直线的距离公式等基础知识以及方程思想和运算求解的能力.答题要领（1）求出直线AB的斜率，由AB⊥l可求得直线l的斜率，进而可求得直线l的方程.（2）设直线l的方程为kx-y=0,k＞0，利用点到直线的距离公式结合|AC|=23|BD|可求得k的值，进而可求得|AC|、|BD|的值，利用勾股定理可求得|OC|、|OD|的值，由此可求得|CD|.详细解析（1）当C、D重合时，AB⊥l，由题意得直线AB的斜率kAB=0-24-0=-12，∴直线l的斜率k=-1kAB=2，故直线l的方程为y=2x.（2）设直线l的方程为kx-y=0,k＞0，则|AC|=4k1+k2，|BD|=21+k2，由|AC|=23|BD|可得4k1+k2=431+k2，解得k=3，∴|AC|=23,|BD|=1，由勾股定理可得|OC|=|OA|2-|AC|2=2，|OD|=|OB|2-|BD|2=3，∴|CD|=|OC|-|OD|=2-3.解题感悟解决此类问题时一般用数形结合求解.5
