【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第十八章不等式选讲理（含2022试题）理数1.(2022江西,11(1),5分)(1)(不等式选做题)对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( )A.1B.2C.3D.4[答案]1.C[解析]1.∵|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3,当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|取到最小值3,故选C.2.(2022安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8[答案]2.D[解析]2.f(x)=|x+1|+|2x+a|=|x-(-1)|++,在x轴上取点A(-1,0),B,P(x,0),则f(x)=|PA|+|PB|+|PB|≥|AB|=f==3,∴|a-2|=6,即a=8或-4.故选D.3.(2022辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )A.B. C. D.[答案]3.B[解析]3.当x=y时,|f(x)-f(y)|=0.当x≠y时,当|x-y|≤时,依题意有|f(x)-f(y)|<|x-y|≤;当|x-y|>时,不妨设x<y,依题意有17\n|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|≤|f(x)-f(0)|+|f(1)-f(y)|<|x-0|+|1-y|=-(y-x),又y-x>,∴|f(x)-f(y)|<-×=.综上所述,对所有x,y∈[0,1],都有|f(x)-f(y)|<.因此,k≥,即k的最小值为,故选B.4.(2022湖北八市高三下学期3月联考，10)实数ai（i=1,2,3,4,5,6）满足（a2－a1）2+（a3－a2）2+（a4－a3）2+（a5－a4）2+（a6－a5）2=1则（a5+a6）－（a1+a4）的最大值为( )A．3 B．2 C． D．1[答案]4. B[解析]4. 因为,所以，即.5.(2022重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.[答案]5.[解析]5.令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=,依题意得a2+a+2≤⇔-1≤a≤.6.(2022湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-<x<,则a=________.[答案]6.-3[解析]6.依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为,有此方程组无解.17\n当a<0时,不等式的解集为,从而有解得a=-3.7.（2022重庆一中高三下学期第一次月考，16）若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 。[答案]7. [解析]7. 当时，可得，令t=，欲使无解，只需使无解即可；只需，可得；当时，对也能使不等式无解，综上可得.8.(2022重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，16)若的最小值为3,则实数的值是______________.[答案]8. 2或8[解析]8.因为，即，解得或.9.(2022山东实验中学高三第一次模拟考试，12)设函数的图象关于点中心对称，则的值为_______.[答案]9.或[解析]9. 由已知可得，解得.10.(2022重庆铜梁中学高三1月月考试题，15)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________.[答案]10.[解析]10. 由绝对值的几何意义知，要不等式的解集为，所以实数的取值范围是.17\n11.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，15(2)）（不等式选讲选做题）对于任意实数，不等式恒成立时，若实数的最大值为3，则实数的值为 ．[答案]11.（2）答案 4或－8[解析]11. 由题意可得的最小值为3，当时，，由此可知当时其有最小值，由题意得，解得；当时，，由此可知当时其有最小值，由题意得，解得；综上可得m可取4或－8.12.（2022江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，15（2））（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为 ．[答案]12. [－7,3][解析]12. 不等式等价于或或，解得[－7,3].13.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，16）设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”。已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，，若f(x)为R上的“2022型增函数”，则实数a的取值范围是______.[答案]13. [解析]13. ∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，17\n，∴当x＜0时，可得f(x)=－|x+a|+2a，又f（x）为R上的“2022型增函数”，（1）当x＞0时，由定义有|x+2022－a|－2a＞|x－a|－2a，即|x+2022－a|＞|x－a|，其几何意义为到点a小于到点a－2022的距离，由于x＞0故可知a+a－2022＜0得a＜1007；（2）当x＜0时，分两类研究，若x+2022＜0，则有－|x+2022+a|+2a＞－|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2022+a|，其几何意义表示到点－a的距离小于到点－a－2022的距离，由于x＜0，故可得－a－a－2022＞0，得a＜1007;若x+2022＞0，则有|x+2022－a|－2a＞－|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2022－a|＞4a，其几何意义表示到到点－a的距离与到点a－2022的距离的和大于4a，当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2022+a|≥|－a－a+2022|=|2a－2022|，故有|2a－2022|＞4a，必有2022-2a＞4a，解得.综上可得.14.(2022重庆五区高三第一次学生调研抽测，16)若函数的定义域为，则实数的取值范围为 .[答案]14. [解析]14. 据题意，不等式恒成立，所以.又，所以.15.(2022江苏苏北四市高三期末统考,10)已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．[答案]15. [解析]15. 当时，，当时，，此时函数单调递增，由，解得，由图象知，要不等式成立，则，即，故不等式的解集为.17\n16.(2022重庆七校联盟,16)在实数范围内，不等式的解集为 ．[答案]16. [解析]16. 由，则，即，，故不等式的解集为.17.(2022陕西宝鸡高三质量检测(一),15C)(不等式选做题)不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为_________________.[答案]17. [解析]17. ，，解得.18.(2022福建,21(3),7分)(3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.[答案]18.查看解析[解析]18.(Ⅰ)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(Ⅱ)由(Ⅰ)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.19.(2022江苏,21(D),10分)[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.[答案]19.查看解析[解析]19.因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.20.(2022辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲17\n设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.[答案]20.查看解析[解析]20.(Ⅰ)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(Ⅱ)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=-≤.21.(2022课标全国卷Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.[答案]21.查看解析[解析]21.(Ⅰ)由a>0,得f(x)=+|x-a|≥=+a≥2.所以f(x)≥2.(Ⅱ)f(3)=+|3-a|.17\n当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.22.(2022课表全国Ⅰ，24，10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.[答案]22.查看解析[解析]22.(Ⅰ)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.23.(2022山西太原高三模拟考试（一），24)选修4—5：不等式选讲 已知函数 （I）解不等式；（Ⅱ）若存在x使得成立，求实数的取值范围.[答案]23.查看解析[解析]23.17\n24.(2022河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），24)不等式选讲：已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.[答案]24.查看解析[解析]24.（Ⅰ）当时，不等式可化为，①当时，不等式为，解得，故；②当时，不等式为，解得，故；③当时，不等式为，解得，故；综上原不等式的解集为或.（5分）（Ⅱ）因为的解集包含，不等式可化为，解得，由已知得，解得，所以的取值范围是.（10分）25.(2022河北唐山高三第一次模拟考试，24)选修4-5:不等式选讲已知函数. （Ⅰ）若当时，恒有，求的最大值； （Ⅱ）若当时，恒有求的取值范围.17\n[答案]25.查看解析[解析]25.（Ⅰ）若，所以，解得；由，所以，所以，依题意有，，即，故的最大值为1. （6分）（Ⅱ），当且仅当时等号成立.解不等式，解得，所以的取值范围是. （10分）26.(2022贵州贵阳高三适应性监测考试,24)选修4-5：不等式选讲设函数(Ⅰ）当=1时，求函数；(Ⅱ）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.[答案]26.查看解析[解析]26.（Ⅰ）当时，. （5分）（Ⅱ）对任意的实数恒成立对任意的实数恒成立当时，上式成立； 当时，当且仅当即时上式取等号，此时成立.17\n综上，实数的取值范围为. （10分）27.(2022黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，24)选修4-5：不等式选讲 已知函数. （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）若，且，求证：.[答案]27.查看解析[解析]27. （Ⅰ）不等式的解集是.（5分）（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立.（10分）28.（2022吉林实验中学高三年级第一次模拟，24）选修4—5:不等式选讲已知函数。（1）若的解集为，求实数的值。（2）当且时，解关于的不等式。[答案]28.查看解析[解析]28.29.(2022河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,24)选修4-5:不等式选讲17\n 设函数. (I)解不等式；(Ⅱ)若对一切实数x均成立，求m的取值范围.[答案]29.查看解析[解析]29.30.(2022周宁、政和一中第四次联考，21（3）)选修4－5：不等式选讲已知函数，. （Ⅰ）若函数的值不大于1，求的取值范围； （Ⅱ）若不等式的解集为R，求的取值范围．[答案]30.查看解析[解析]30. （Ⅰ）由题意，，即，解得，的取值范围. （3分）（Ⅱ），对于，，于是，即，故的取值范围是. （7分）31.(2022重庆七校联盟,22)设数列{an}的前项和为，满足，且，，成等差数列． （Ⅰ）求，，的值； （Ⅱ）求证：数列是等比数列 （Ⅲ）证明：对一切正整数，有．[答案]31.查看解析[解析]31. 解析 （Ⅰ）因为，，成等差数列，所以，17\n当时，，当时，，解方程组得，，，． （3分） （Ⅱ）由，得，两式相减得，．，所以是首项为3，公比为3的等比数列．（7分）（Ⅲ）由，又，，，即．，，所以当时，，，，，两边同时相乘得，所以．（12分）32. (2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,22)已知函数，. （Ⅰ）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （Ⅱ）若函数的图像在处的切线斜率为0，且，（，）. 证明：对任意的正整数n,当时，有.[答案]32.查看解析[解析]32. 解析 （Ⅰ）函数的定义域是因为所以有所以，，①当时，恒成立，所以函数在上单调递减; (3分)②当时，17\n若函数在其定义域内单调递增，则有恒成立即，因为所以 且时不恒为0.若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即，因为所以 综上，函数在定义域内单调时的取值范围是 ， (5分) （Ⅱ）因为函数的图像在处的切线斜率为0，所以即所以，所以，，令 ，所以 ， (7分)当是偶数时，因为所以 ，所以，所以即函数在单调递减，所以，即 ，当是奇数时，令则，所以函数在单调递减，所以，又因为时,所以，所以即函数在单调递减 ，所以，即，综上，对任意的正整数n,当时，有.(12分)33.(2022河南郑州高中毕业班第一次质量预测,24)选修4-5：不等式选讲设函数.（Ⅰ）若的最小值为3，求a值；（Ⅱ）求不等式的解集，[答案]33.查看解析[解析]33. 解析 （Ⅰ）因为17\n因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. （4分） （Ⅱ）不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 （10分）34.(2022河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,24)已知函数（Ⅰ）解不等式(Ⅱ)若.求证：.[答案]34.查看解析[解析]34.（Ⅰ），当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为或． （5分）（Ⅱ），即．因为，所以，，所以．故所证不等式成立． （10分）35.(2022兰州高三第一次诊断考试,24)选修4—5：不等式选讲 （Ⅰ）已知、都是正实数，求证：； （Ⅱ）若不等式对满足的一切正实数恒成立，求实数的取值范围.[答案]35.查看解析[解析]35. （Ⅰ）证明：由 .17\n又、都是正实数，所以、，即所以. （5分） （Ⅱ）根据柯西不等式有.又恒成立，，或，即或，所以的取值范围是. （5分）36.（本题满分12分）设关于不等式的解集为，且，.（1）,恒成立，且，求的值；（2）若，求的最小值并指出取得最小值时的值.[答案]36.查看解析[解析]36.（1），，即,，又. (5分)（2）,当且仅当，即时上式取等号又17\n所以，的最小值是，取最小值时. (12分)17
