章末检测 一、填空题1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.2．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4＝________.3．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q＝________.4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________.121abc5.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.7．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是________．9．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝，则此数列的第10项a10＝________.10．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50＝________.11．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.12．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝________.13．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的第________项．14．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①0<q<1；②a99a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)二、解答题15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．-5-\n16．已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<1.17．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．18．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.19．已知正项数列{bn}的前n项和Bn＝(bn＋1)2，求{bn}的通项公式．20．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an－1万元．(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？答案1．88 2.8 3.－1或2 4.15．156. 7.2n 8.20 9. 10.111．－7 12.313．5014．①②④15．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)证明 数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，-5-\n即Sn＋＝5·2n－2.所以S1＋＝，＝＝2.因此是以为首项，2为公比的等比数列．16．(1)解 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.(2)证明 因为＝＝，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－<1.17．解 (1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q>0，故q＝.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.故＝－＝－2，＋＋…＋-5-\n＝－2[＋＋…＋]＝－.所以数列的前n项和为－.18．(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.19．解 当n＝1时，B1＝b1，∴b1＝(b1＋1)2，解得b1＝1.当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2＝(b－b＋2bn－2bn－1)，整理得b－b－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0.∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1－2＝0.∴{bn}为首项b1＝1，公差d＝2的等差数列．∴bn＝2(n－1)＋1＝2n－1，即{bn}的通项bn＝2n－1.20．解 (1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有a1＝a，当n≥2时，an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a.∴an＝bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋a2＋…＋an－1＝a(n∈N*)．(2)易知bn<3a，所以乙将被甲超市收购，-5-\n由bn<an得：a<(n－1)a.∴n＋4n－1>7，∴n≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．-5-
