3.1.2 共面向量定理一、基础过关1．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是________．(填“共面”“不共面”)2．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．①＝－－②＝＋＋③＋＋＝0④＋＋＋＝03．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，λ的值为________．5．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的对角线的交点，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为________．6．下面关于空间向量的说法正确的是________(填序号)．①若向量a、b平行，则a、b所在的直线平行；②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b不共面；③若A、B、C、D四点不共面，则向量、不共面；④若A、B、C、D四点不共面，则向量、、不共面．7．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CC1、CD的中点，则下列结论错误的是________(填序号)．①＝；②＝＋＋；③、与共面；④＝(＋)．-5-\n二、能力提升9．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2.求证：A、B、C、D共面．10．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有＝＋＋.求证：P、A、B、C四点共面．11．对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试判断：与、的关系．12．如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)求证：A，E，C1，F四点共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．三、探究与拓展13．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，，是共面向量．-5-\n答案1．共面 2．③ 3．共面 4．3 5．，6．④ 7．②③④ 8．④9．证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴易知是其中一组解，则－5＋＋＝0，∴A、B、C、D共面．10．证明 ∵＝＋＋，∴＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝＋＋，∴－＝＋，∴＝＋，∴向量、、共面，而线段AP、AB、AC有公共点，∴P、A、B、C四点共面．11．解 如图所示．空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得：＝＋＋①＝＋＋②又E、F分别是AB、CD的中点．故有＝－，＝－③将③代入①得＝－＋－④②＋④得：2＝＋-5-\n所以＝＋，即与、共面．12．(1)证明 ∵＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋.∴A、E、C1、F四点共面．(2)解 ∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，且＝x＋y＋z.则x＋y＋z＝－1＋1＋＝.13．证明 设＝a，＝b，＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴＝c－a，又O是B1D1的中点，∴＝(a＋b)，∴＝－(a＋b)，＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)．∵D1D綊C1C，∴＝c，∴＝＋＝(b－a)＋c.若存在实数x、y，使＝x＋y(x，y∈R)成立，则c－a＝x＋y-5-\n＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.∵a、b、c不共线，∴得∴＝＋，∴、、是共面向量．-5-
