本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是( )A.12B.32C.1D.32.椭圆x236+y264=1的一个焦点坐标为( )A.(10,0)B.(0,10)C.(27,0)D.(0,27)3.在平面直角坐标系Oxy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且OP·OQ=2,则点P的轨迹方程为( )A.x2+y2=2B.x2-y2=2C.x+y2=2D.x-y2=24.如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为( )A.22B.23C.42D.435.已知F1,F2是椭圆x210+y28=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且△F1PF2是直角三角形,则△F1PF2的面积为( 易错 )A.1655B.855C.1655或8D.855或86.设双曲线x2-y23=1的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于点A,与双曲线的渐近线在第一象限交于点B,若BF1⊥BF2,则△ABF2的周长为( )A.43+2B.43-2C.4+23D.4-237.过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点M在直线y=2上,O为坐标原点,则△AOB的面积为( )A.3102B.45C.922D.917
8.设A,B分别是双曲线x2-y23=1的左、右顶点,设过P12,t的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且SQ=2QT,则△BST的面积为( )A.91635B.3417C.3815D.32二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是( )A.若m=0,n>0,则C是两条直线B.若m=n>0,则C是圆,其半径为nC.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnx10.以下关于圆锥曲线的说法,不正确的是( )A.设A,B为两个定点,k为非零常数,||PA|-|PB||=k,则动点P的轨迹为双曲线B.过定圆O上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆C.若曲线C:x24-k+y2k-1=1为双曲线,则k<1或k>4D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有2条11.已知A,B两监测点间距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,设声速为340米/秒,下列说法正确的是( )A.爆炸点在以A,B为焦点的椭圆上B.爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上C.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为6803米D.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为680米12.我们通常称离心率为5-12的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2,B1,B2为顶点,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,O为坐标原点,则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的是( )A.|F1F2|2=|A1F1|·|F2A2|17
B.∠F1B1A2=90°C.PF1⊥x轴,且PO∥A2B1D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F217
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.与双曲线x23-y24=1有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线方程为 . 14.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为 . 15.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F(2,0)为该抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠MFO=120°,N(-2,0),则p= ,△MNF的面积为 .(本题第一空2分,第二空3分) 16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于32(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是 . 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(1)求与双曲线x216-y24=1有相同焦点,且经过点(32,2)的双曲线的标准方程;(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m的值.17
18.(本小题满分12分)已知椭圆C的焦点为F1(0,-2)和F2(0,2),长轴长为25,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.17
19.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+3,|PF2|=2-3.(1)求椭圆C的方程;(2)求点P的坐标.17
20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3.(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线x=-1于点D.是否存在这样的直线l,使得DE∥AF?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.17
21.(本小题满分12分)已知直线l:x=my+1过椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,点A、B在直线G:x=a2上的射影依次为点D、E.(1)若1|OF|+1|OA2|=3e|FA2|,其中O为原点,A2为椭圆C的右顶点,e为离心率,求椭圆C的方程;(2)在(1)的条件下,连接AE,BD,试探索当m变化时,直线AE,BD是否相交于一定点N.若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;否则说明理由.17
22.(本小题满分12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.答案全解全析一、单项选择题1.B 抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-y23=1的一条渐近线3x-y=0的距离为|3×1-0|(3)2+(-1)2=32,故选B.2.D 由题意得椭圆x236+y264=1的焦点在y轴上,因为a2=64,b2=36,所以c2=a2-b2=64-36=28,所以焦点坐标为(0,27)和(0,-27),故选D.17
3.B 设P(x,y),则Q(x,-y),所以OP·OQ=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2,故选B.4.D 如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1,圆柱的底面中心为O,则∠OAB=60°,可得a=|O1A|=|OA|cos60°=4,b=12|CD|=2,∴c=a2-b2=23,∴椭圆的焦距为43,故选D.5.B 由题意得a2=10,b2=8,∴c2=a2-b2=2,设椭圆的上顶点为B,由c<b得,∠F1PF2≤∠F1BF2<90°,因此PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2.当PF1⊥F1F2时,|PF1|=b2a=810,∴S△F1PF2=12|F1F2||PF1|=12×22×810=855,同理,当PF2⊥F1F2时,S△F1PF2=855.故选B.易错警示 “△F1PF2是直角三角形”中没有说明哪个角是直角,解题时要先判断,若∠F1PF2可以是直角,本题有两解,否则仅有一解.6.C 由题意可得F1(-2,0),F2(2,0),双曲线的渐近线OB的方程为y=3x,则∠BOF2=π3,因为BF1⊥BF2,OB为Rt△F1BF2的中线,所以|OB|=12|F1F2|=12×4=2,所以B(1,3),则|BF1|=(1+2)2+(3)2=23,|BF2|=(1-2)2+(3)2=2,所以△ABF2的周长C=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AB|+(2a+|AF1|)+|BF2|=|BF1|+|BF2|+2=23+2+2=4+23.故选C.7.B 由抛物线y2=8x,得F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知y12=8x1,y22=8x2,即(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).由题意知y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=kAB=2,17
故直线l:y=2(x-2).联立y=2(x-2),y2=8x得y2-4y-16=0,所以y1+y2=4,y1y2=-16.故|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16-4×(-16)=45.所以S△AOB=12|OF|·|y1-y2|=12×2×45=45,即△AOB的面积为45,故选B.8.A 双曲线x2-y23=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),又P12,t,∴直线PA的方程为x=3y2t-1,PB的方程为x=-y2t+1,联立x=3y2t-1,3x2-y2=3可得274t2-1y2-9yt=0,解得y=0或y=36t27-4t2,将y=36t27-4t2代入x=3y2t-1可得x=27+4t227-4t2,即有M27+4t227-4t2,36t27-4t2,联立x=-y2t+1,3x2-y2=3可得34t2-1y2-3ty=0,解得y=0或y=12t3-4t2,将y=12t3-4t2代入x=-y2t+1,可得x=-3-4t23-4t2,即N-3-4t23-4t2,12t3-4t2.设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,即有yM-yNxM-xN=yNxN-s,将M,N的坐标代入,化简可得-12t9-4t2=12t-3-4t2-s(3-4t2),解得s=2,即Q(2,0),设过Q的直线方程为x=my+2,联立3x2-y2=3,x=my+2得(3m2-1)y2+12my+9=0,设S(x1,y1),T(x2,y2),可得y1+y2=-12m3m2-1,y1y2=93m2-1,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立,又SQ=2QT,∴y1=-2y2,∴-2·144m2(3m2-1)2=93m2-1,解得m2=135,可得S△BST=12|BQ|·|y1-y2|=12|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=12·36m2+36|3m2-1|=3·135+11-335=93516.故选A.二、多项选择题9.AD 对于A,若m=0,n>0,则C:ny2=1,即y=±1n,为两条直线,故A正确;对于B,若m=n>0,则C:x2+y2=1n,所以C是圆,半径为1n,故B错误;17
对于C,若m>n>0,则0<1m<1n,所以C:mx2+ny2=1即C:x21m+y21n=1为椭圆,且焦点在y轴上,故C错误;对于D,若mn<0,则C:x21m+y21n=1为双曲线,且其渐近线方程为y=±-1n1mx=±-mnx,故D正确.故选AD.10.ABD 根据双曲线的定义,必须有k<|AB|,动点P的轨迹才为双曲线,故A的说法不正确;∵OP=12(OA+OB),∴P为弦AB的中点,故∠APO=90°,则动点P的轨迹为以线段AO为直径的圆,故B的说法不正确;显然C的说法正确;过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线x=0、y=1、y=x+1,故D的说法不正确.故选ABD.11.BD 依题意,A,B两监测点间距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,设爆炸点为C,则|CA|-|CB|=340×2=680<800,所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上,所以A选项错误,B选项正确.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则|CA|2|CB|2=4,即|CA|=2|CB|,结合|CA|-|CB|=680可得|CB|=680,所以C选项错误,D选项正确.故选BD.12.BD ∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),∴A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B1(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0),对于A,若|A1F1|·|F2A2|=|F1F2|2,则(a-c)2=(2c)2,∴a-c=2c,∴e=13,不满足条件,故A不符合题意;对于B,∠F1B1A2=90°,∴|A2F1|2=|B1F1|2+|B1A2|2,∴(a+c)2=a2+a2+b2=3a2-c2,∴c2+ac-a2=0,∴e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故B对;对于C,PF1⊥x轴,且PO∥A2B1,∴P-c,b2a,∵kPO=kA2B1,∴b2a-c=b-a,解得b=c,∵a2=b2+c2,∴a=2c,∴e=ca=22,不符合题意,故C不符合题意;对于D,四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c,∴ab=ca2+b2,∴c4-3a2c2+a4=0,∴e4-3e2+1=0,解得e2=3+52(舍去)或e2=3-52,∴e=5-12,符合题意,故D对.故选BD.三、填空题13.答案 x26-y28=117
解析 设所求的双曲线方程为x23-y24=λ(λ≠0),又点(3,2)在双曲线上,∴323-224=λ,解得λ=2.故双曲线方程为x26-y28=1.14.答案 32-1解析 ∵抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,∴焦点F(1,0),准线为x=-1,∵在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,∴根据抛物线的定义可知,d1+d2的最小值为焦点到直线l的距离减去1,∴最小值为|1-0+5|12+(-1)2-1=32-1.故答案为32-1.15.答案 4;83解析 由抛物线的焦点为F(2,0),得p2=2,解得p=4.设抛物线y2=8x的准线为l,则l与x轴的交点即为N(-2,0),作MP⊥l于点P,FQ⊥MP于点Q.∵∠MFO=120°,∴∠MFQ=30°,∴|MQ|=12|MF|.由抛物线的定义可知,|MF|=|MP|,∴|MQ|=|MP|-|PQ|=|MF|-p=12·|MF|,即|MF|-4=12|MF|,∴|MF|=8,∴|MQ|=4,∴|FQ|=43,∴S△MNF=12|NF|×|FQ|=12×4×43=83.16.答案 35,22解析 当P点位于椭圆的右顶点时,|PF2|取得最小值,且最小值为|PF2|=a-c.∵|PT|=|PF2|2-(b-c)2,∴(a-c)2-(b-c)2≥32(a-c),∴(a-c)2≥4(b-c)2,∴a-c≥2(b-c),∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),化为5c2+2ac-3a2≥0,即5e2+2e-3≥0,解得e≥35或e≤-1(舍去).17
又e∈(0,1),∴35≤e<1.①∵b>c,∴b2>c2,∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2<12,∴0<e<22.②由①②得35≤e<22.故椭圆离心率的取值范围为35,22.四、解答题17.解析 (1)∵所求双曲线与双曲线x216-y24=1有相同焦点,∴设所求双曲线的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16),(2分)∵双曲线过点(32,2),∴1816-λ-44+λ=1,∴λ=4或λ=-14(舍).(4分)∴所求双曲线方程为x212-y28=1.(5分)(2)椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1(m>0),(6分)∵m-mm+3=m(m+2)m+3>0,∴m>mm+3,(8分)∴a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3,由e=32,得m+2m+3=32,解得m=1.(10分)18.解析 (1)依题意,椭圆的焦点在y轴上,设其方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).(1分)易知c=2,a=5,(3分)又a2=b2+c2,所以b=1,(5分)故椭圆C的标准方程为y25+x2=1.(6分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),由y=x+2,y25+x2=1消去y,得6x2+4x-1=0.(8分)故x1+x2=-23,x1x2=-16,则x0=-13,y0=x0+2=53,17
所以弦AB的中点M的坐标为-13,53.(10分)|AB|=2×|x1-x2|=2×(x1+x2)2-4x1x2=2×49+23=253.(12分)19.解析 (1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆的定义,得a=|PF1|+|PF2|2=(2+3)+(2-3)2=2,(2分)在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|×|PF2|cos120°=(2+3)2+(2-3)2+(2+3)(2-3)=15,(4分)由4c2=15,得c2=154,∴c=152,∴b2=a2-c2=4-154=14,故椭圆C的方程为x24+4y2=1.(6分)(2)设点P的坐标为(m,n)(m>0),S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|·sin120°=12×(2+3)×(2-3)×32=34,(8分)又由S△PF1F2=12×2c|n|=152|n|,得15|n|2=34,解得n=±510,(10分)将点P的坐标代入椭圆C的方程得m24+15=1,解得m=455,故点P的坐标为455,510或455,-510.(12分)20.解析 (1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以1+p2=3,解得p=4,(2分)所以y2=8x,(3分)所以准线方程为x=-2.(4分)(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=8x,y=k(x+1)消去y,得k2x2+(2k2-8)·x+k2=0.(5分)令Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得-2<k<2.所以-2<k<2且k≠0.由根与系数的关系得x1+x2=8-2k2k2,x1x2=1.(6分)因为DE∥AF,所以|BA||BE|=|BF||BD|,所以x2-x1x2+4=x2-2x2+1.(9分)整理得x1x2+(x1+x2)=8,即x1+x2=7,(10分)所以8-2k2k2=7,整理得k2=89.(11分)解得k=±223,经检验,k=±223符合题意.所以存在这样的直线l,使得DE∥AF,直线l的方程为y=223(x+1)或y=-223(x+1).(12分)17
21.解析 (1)椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),设椭圆的半焦距为c,由题意可得c=1,(2分)由1|OF|+1|OA2|=3e|FA2|,可得1c+1a=3ea-c,即有ac-1+1-ca=3e,即1e=4e,解得e=12(负值舍去),(4分)则a=2,b=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(6分)(2)当m=0时,直线AB垂直于x轴,可得四边形ABED为矩形,直线AE,BD相交于点52,0,猜想定点N52,0;(7分)当m≠0时,分别设A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),由题意可得D(4,y1),E(4,y2),由x=my+1,3x2+4y2=12可得(4+3m2)y2+6my-9=0,所以y1+y2=-6m4+3m2,y1y2=-94+3m2,(9分)易得kBN=y2x2-52,kDN=y14-52,则kBN-kDN=32y2-y1x2-5232x2-52,又32y2-y1my2+1-52=32(y1+y2)-my1y2=32·-6m4+3m2-m·-94+3m2=0,(11分)则kBN-kDN=0,即kBN=kDN,所以B,D,N三点共线,同理可得A,E,N三点共线.则直线AE,BD相交于定点N52,0.(12分)22.解析 (1)因为圆x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,所以圆心M(1,0),半径|MB|=4,(1分)又因为过点N作AM的平行线交BM于点C,所以AM∥NC,又因为|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,所以|CN|=|CB|,(3分)所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2,(4分)所以点C的轨迹为椭圆(除去两点),由椭圆定义可得点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0).(6分)(2)由(1)可知点C的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0),易知k≠0,设P(x1,y1),17
由y=kx,x24+y23=1消去y,得(3+4k2)x2=12,解得x12=123+4k2,y12=12k23+4k2,(7分)则|OP|=x12+y12=123+4k2+12k23+4k2=12(1+k2)3+4k2,(8分)因为△PQR是以PQ为底边的等腰三角形,所以RO⊥PQ,所以kRO·kPQ=-1,则kRO=-1k.同理,|OR|=121+-1k23+4-1k2=12(1+k2)3k2+4.(9分)所以S△RPQ=12×|PQ|×|OR|=12×2×12(1+k2)3+4k2×12(1+k2)3k2+4=12(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)(10分)≥12(1+k2)3+4k2+4+3k22=12(1+k2)72(1+k2)=247,(11分)当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时取等号,所以(S△RPQ)min=247.(12分)17
