本章复习提升易混易错练易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错1.(2021江西上高二中高二上月考,)设椭圆E的方程为x22+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A、B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆S.(1)求圆心C的轨迹方程,并描述轨迹表示的图形;(2)若圆S经过原点,求直线l的方程;(3)证明:圆S内含或内切于圆x2+y2=3.易错易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清而致错2.()动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( 易错 )A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线易错点3 忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错3.(2020浙江宁波九校高二上期末,)抛物线y=4x2的焦点坐标是( 易错 )A.(1,0)B.(0,1)C.116,0D.0,1164.(2020山东临沂高二上期末,)直线y=x+2与椭圆x2m+y23=1有两个公共点,则m的取值范围是( 易错 )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(0,3)∪(3,+∞)C.(1,3)∪(3,+∞)D.(1,+∞)5.()已知m2=4,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率为 . 易错点4 忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2,则实数m的值为( 易错 )A.1B.4C.1或7D.4或612
7.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为 . 易错点5 忽视直线的斜率不存在的情况而致错8.(2021江苏无锡一中高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,椭圆C的上顶点到右顶点的距离为3,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若S,T是椭圆C上两点(异于顶点),且△OST的面积为22,设射线OS,OT的斜率分别为k1,k2,求k1·k2的值;(3)设直线l与椭圆交于M,N两点(直线l不过顶点),且以线段MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点.易错思想方法练一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用1.(2020山东德州高二上期末,)已知O为坐标原点,F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1且斜率为33的直线与椭圆C在第一象限交于点P,且|OP|=|OF2|,则椭圆C的离心率为 . 2.()点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用 3.()过点A(2,-1)的直线与抛物线y2=4x相交于C、D两点,若A为CD的中点,则直线的方程是( )A.x+2y=0B.x-2y-4=0C.2x+y-3=0D.3x+y-5=04.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.12
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用5.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知直线l:4x-3y+8=0,抛物线C:y2=4x上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为 . 6.()已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且点A(0,1)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用7.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( )A.y2=16xB.x2=-8yC.y2=16x或x2=-8yD.y2=16x或x2=8y8.(2021北京首都师范大学附中高二上期中,)已知椭圆C:x2a2+y2=1(其中a>0)的右焦点为F(1,0),直线l过点F与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求椭圆C的长轴长和离心率;(2)求△AOB的面积的最大值;(3)若△AOB为直角三角形,求直线l的方程.12
答案全解全析易混易错练1.解析 (1)设斜率为1的动直线l的方程为y=x+t,联立x22+y2=1,y=x+t,可得3x2+4tx+2t2-2=0,则Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-3<t<3.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=-4t3,x1x2=2t2-23,则中点C-2t3,t3,∴圆心C的轨迹方程为y=-12x-233<x<233,即轨迹为不含端点的线段.(2)由(1)可得|AB|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2·16t29-8t2-83=43-t23,∴圆S的方程为x+2t32+y-t32=12-4t29.若圆S经过原点,则5t29=4(3-t2)9,解得t=±233,因此,直线l的方程为y=x±233.(3)证明:设圆x2+y2=3的圆心为O(0,0),由☉O的半径为3,圆S的圆心为S-2t3,t3,半径为23-t23,易得3>23-t23.|OS|2-3-23-t232=5t29-3-49-3t23+12-4t29=t2+49-3t23-133,令9-3t2=m(0<m≤3),则t2=9-m23,可得|OS|2-3-23-t232=9-m23+4m3-133=-13(m-2)2≤0,∴圆S内含或内切于圆x2+y2=3.易错警示 在用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系时,注意限制条件判别式大于0,解题时若忽视判别式的计算,则不能求出参数的取值范围,如本题中若忽略-3<t<3,则错误地得到圆心C的轨迹为直线,事实上它的轨迹是不含端点的线段.2.A 设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,易得圆O1和O2的半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(左支).12
易错警示 双曲线的定义中含有绝对值,当得出动点到两定点距离之差为常数时,考虑轨迹只是双曲线的一支,解题时防止忽视定义的形式导致答案错误.3.D y=4x2,即x2=14y,故抛物线焦点在y轴上,2p=14⇒p=18,焦点纵坐标为p2=116.故焦点坐标为0,116,故选D.易错警示 方程y=4x2不是抛物线的标准方程,4也不是2p,解题时应该将抛物线的方程化为x2=14y,从而得到2p=14,解题时要防止错误理解标准方程导致解题错误.4.C 联立直线和椭圆方程得y=x+2,3x2+my2=3m,所以(3+m)x2+4mx+m=0,所以Δ=16m2-4m(m+3)>0,所以m>1或m<0,又在椭圆x2m+y23=1中,m>0,m≠3,所以m>1且m≠3,故选C.易错警示 椭圆方程x2m+y23=1中,参数m的取值范围是m>0,且m≠3,解题时防止遗漏导致解题错误.5.答案 22或3解析 由m2=4得m=±2.当m=2时,曲线x2+y22=1为焦点在y轴上的椭圆,此时a=2,c=2-1=1,离心率e=12=22.当m=-2时,曲线x2-y22=1为焦点在x轴上的双曲线,此时a=1,c=2+1=3,离心率e=31=3.6.D 由题意可得c=1.当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4;当椭圆的焦点在y轴上时,(4+m)-9=1,解得m=6.故选D.易错警示 研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分两种情况讨论,解题时防止未对焦点的位置进行判断导致错误.7.答案 2或23312
解析 由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时,其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,即ba=3或ba=33.又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233.同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有ab=3或ab=33,所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2.综上可得,双曲线的离心率为2或233.8.解析 (1)由题得ca=22,a2+b2=3,a2=b2+c2,所以a=2,b=c=1,所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设S(x1,y1),T(x2,y2),由题意知直线OS:y=k1x,直线OT:y=k2x,由y=k1x,x22+y2=1得x12=21+2k12,同理得x22=21+2k22,点T到直线OS的距离d=|k1x2-y2|1+k12=|k1-k2|·|x2|1+k12,OS=1+k12·|x1|,所以S△OST=12·OS·d=|k1-k2|(1+2k12)(1+2k22)=22,整理得(2k1k2+1)2=0,所以k1k2=-12.(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),易得A(2,0).(i)直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,12
由y=kx+m,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,所以x3+x4=-4km1+2k2,x3x4=2m2-21+2k2,由题得AM·AN=0,所以(x3-2)(x4-2)+y3y4=0,化简得(1+k2)x3x4+(km-2)(x3+x4)+m2+2=0,把x3+x4=-4km1+2k2,x3x4=2m2-21+2k2代入整理得3m2+2k2+42km=0,即(3m+2k)(m+2k)=0,所以m=-2k或m=-23k,经检验,均满足Δ>0.当m=-2k时,l:y=kx-2k,定点为(2,0),为右顶点(舍).当m=-23k时,l:y=kx-23k,定点为23,0,满足题意.(ii)直线l的斜率不存在时,设直线l:x=t,|t|<2,由x=t,x22+y2=1得Mt,2-t22,Nt,-2-t22(不妨设M在第一象限),所以AM=t-2,2-t22,AN=t-2,-2-t22,由题得AM·AN=0,所以3t2-42t+2=0,即(3t-2)(t-2)=0,所以t=23或t=2(舍),所以t=23,直线l过点23,0.综上,直线l过定点23,0.易错警示 在解决直线与圆锥曲线的位置关系时,常要设出直线的方程,需对直线斜率存不存在进行讨论,解题时要防止未讨论导致错误.思想方法练1.答案 3-112
解析 如图所示,依题意|OP|=|OF2|,∴|OP|=|OF2|=|OF1|.∵kPF1=33,∴∠PF1F2=30°,将斜率转化为倾斜角,结合图形,利用几何性质可以简化运算.∴∠OPF1=30°,又易知∠OPF2=∠OF2P=∠POF2=60°,∴∠F1PF2=90°,∴|PF2|=c,|PF1|=3c,∵|PF2|+|PF1|=2a,∴2a=c+3c,利用几何性质,结合解三角形知识,建立椭圆的基本量a、b、c的关系进而求出离心率.∴e=ca=21+3=3-1,故答案为3-1.思想方法 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而实现优化解题途径的目的.在解决直线和圆锥曲线问题时要注意数形结合,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合,避免繁杂的计算和推理,实现快速、准确解题.2.解析 易知抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,如图所示,过点P作PD垂直准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.当M,P,D三点共线时,|PM|+|PD|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.利用抛物线的定义,结合图形将到焦点的距离转化为到准线的距离,再利用图形由点到直线的距离探究最小值.此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P的坐标是98,3.12
3.C 设C(x1,y1),D(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),由点在抛物线上知点的坐标适合抛物线方程,得到方程组,利用条件整体代入进行消元,通过解方程求出解题需要的量.∵y1+y2=-2,∴kCD×(-2)=4,解得kCD=-2,∴直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选C.思想方法 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.在解析几何中,建立坐标系,利用代数手段构造方程,通过方程的知识解决直线与圆锥曲线的问题,是一种最基本的方法.4.解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).因为直线y=x-3与该椭圆相切,所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,消去y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0,所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.利用方程与方程组知识,得到a、b的关系式(方程),再解方程得到椭圆的方程.又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为x22+y2=1.(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=|MN|·|PQ|2=22×22=2.若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-1k,所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+k得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,所以|PQ|=1+k2|x1-x2|12
=(1+k2)[16k4-4(2k2-2)(2k2+1)]2k2+1=22×k2+12k2+1,同理可得,|MN|=22×k2+1k2+2.选择参数k为自变量,建立S四边形PMQN与k的函数关系式,利用函数知识求函数的最大(小)值.所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|2=4×(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)=4×k4+2k2+12k4+5k2+2=4×12-12k22k4+5k2+2=4×12-14k2+4k2+10.因为4k2+4k2+10≥24k2·4k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),所以14k2+4k2+10∈0,118,所以4×12-14k2+4k2+10∈169,2.综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.思想方法 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.在解决和直线与圆锥曲线有关的最大(小)值问题时,常构造函数,利用函数知识求解.5.答案 125解析 抛物线C:y2=4x焦点为(1,0),抛物线上动点到直线l与它到抛物线准线距离之和等于点到直线l和点到焦点的距离和,利用抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离,利用焦点到直线l的距离求出最小值.最小值为焦点到直线l的距离d=|4+8|5=125,故答案为125.思想方法 转化与化归思想是指在解决数学问题时,采用某种手段进行转化,将复杂的问题转化为简单的问题,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把未知转化为已知,把未能解决的问题化归为已经解决的问题.12
转化与化归思想在解析几何中常见的运用:将一般的点或图形转化为特殊点或特殊图形,将代数形式转化为几何图形,利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当的化归.6.解析 (1)由已知得b=1,ca=32,又∵a2=b2+c2,∴a2=4.∴椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)证明:∵点B关于x轴的对称点为C,∴C(x0,-y0),∴直线AC的方程为y=-1+y0x0x+1.令y=0,得Nx0y0+1,0.直线AB的方程为y=y0-1x0x+1,令y=0,得Mx01-y0,0.∴|ON|·|OM|=x0y0+1·x01-y0=x021-y02.∵点B(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,∴x024+y02=1,即x021-y02=4,将证明∠OPM=∠ONP转化为证明Rt△OPM∽Rt△ONP.∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即|OM||OP|=|OP||ON|,又∠POM=∠NOP,∴Rt△OPM∽Rt△ONP,∴∠OPM=∠ONP.7.C 当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.因此抛物线的焦点可为(0,-2),(4,0).根据焦点的位置对抛物线的标准方程进行讨论.①当焦点为(4,0)时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则p=8,∴y2=16x;②当焦点为(0,-2)时,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则p=4,∴x2=-8y.故选C.思想方法 数学结论都有其成立的条件,数学方法的使用也往往有其适用范围.在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的已知量是用参数给出的,参数的取值不同也会影响问题的解决,12
在研究问题时要根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称为分类讨论思想.例如,圆锥曲线标准方程的形式有时需进行讨论;直线与圆锥曲线的位置关系有多种,解题时要依据题意进行分类讨论等.8.解析 (1)由题意,a2-1=1,解得a=2.所以,椭圆C的长轴长为2a=22,离心率为e=1a=22.(2)设直线l的方程为x=my+1,设直线l的方程为x=my+1,避免对直线的斜率进行讨论.联立x22+y2=1,x=my+1,整理得(my+1)2+2y2=2,即(m2+2)y2+2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2m)2-4·(m2+2)·(-1)=8m2+8>0,y1+y2=-2mm2+2,y1·y2=-1m2+2.所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8m2+8m2+2.所以△AOB的面积S=12·|OF|·|y1-y2|=2·m2+1m2+2,令m2+1=t,则t∈[1,+∞),S=2tt2+1=2t+1t≤22,当且仅当t=1(即m=0)时,等号成立,此时l:x=1.所以△AOB的面积的最大值为22.(3)△AOB是直角三角形需对直角顶点在哪进行讨论.(i)若∠OAB=90°,则OA⊥FA,又OA=(x1,y1),FA=(x1-1,y1),则x1(x1-1)+y12=0.因为x122+y12=1,所以x122-x1(x1-1)=1,即x12-2x1+2=0,无解,即∠OAB≠90°.同理,∠OBA≠90°.(ii)若∠AOB=90°,则OA·OB=0,即x1x2+y1y2=0,得(my1+1)(my2+1)+y1y2=0.故(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=0.故-m2+1m2+2-2m2m2+2+1=0,解得m2=12,故m=±22.故l:x=±22y+1,即y=±2(x-1).综上所述,所求直线l的方程为y=±2(x-1).12
