§3.4 导数在实际生活中的应用一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是________．2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为________．3．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为________．5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为________cm.6.如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．二、能力提升7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？10．某商场预计2022年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是-5-\np(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*，且x≤12)，(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？三、探究与拓展12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.-5-\n答案1．－12.3．1444．128000cm35.6．32米，16米7．58．6 39．解 设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18000，由此得y＝＋25.广告的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x.∴S′＝＋25＝＋25.令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值为24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．10．解 (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；当2≤x≤12时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且2≤x≤12)．-5-\n验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x，∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1400x(x∈N*,1≤x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝(舍去)．当1≤x<5时，g′(x)>0；当5<x≤12时，g′(x)<0，∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3125(元)．综上5月份的月利润最大是3125元．11．解 设速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，∴f(x)＝a(x2＋)．令f′(x)＝＝0，得x＝10.当0<x<10时，f′(x)<0；当10<x<100时，f′(x)>0.∴当x＝10时，f(x)有最小值，即速度为10km/h时，总费用最少．12．解 (1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝(－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.-5-\n所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；当c>时，建造费用最小时r＝.-5-
