3.4.2 函数模型及其应用一、基础过关1．已知某食品5kg价格为40元，则该食品价格与重量之间的函数关系为________，8kg食品的价格为________元．2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________．6．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)7．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份123产量(千件)505253.9为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．8．假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)．计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式．(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确定x的范围．二、能力提升9．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x-4-\n万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．10．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是________________．11．2022年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)12．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？三、探究与拓展13．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2022年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129＝1.32)-4-\n答案1．y＝8x 642．3003．减少7.84%4．25．y＝6．57．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：或(a>0)解得(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y＝ax＋b较好．8．解 (1)在收购价格没有改变的前提下，收购量由m万担增加到m(1＋2x%)万担；税率由8%降低到(8－x)%.因此，y＝120m(1＋2x%)(8－x)%＝－(x2＋42x－400)(0≤x≤8)．(2)原计划税收为120m×8%，因此－(x2＋42x－400)≥120m×8%×78%，解上式，得{x|－44≤x≤2}，故x的范围为{x|0≤x≤2}．9．1810．y＝(0.9576)11．203712．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－().(2)设经过m年剩余面积为原来的，则-4-\na(1－x)m＝a，即()＝()，＝，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，()≥()，≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．13．解 (1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．(2)2022年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136，故2022年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．-4-
