3.4.2 基本不等式的应用 一、基础过关1．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，则lgxlgy的最大值是________．2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为________．3．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．4．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．5．若xy是正数，则2＋2的最小值是________．6．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．7．设0<x<2，求函数y＝的最大值．8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?二、能力提升9．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．10．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么下列说法正确的有________．①a＋b有最小值2(＋1)；②a＋b有最大值2(＋1)；③ab有最大值3＋2；④ab有最小值3＋2.11．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．12．设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．三、探究与拓展13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？答案1．4 2.4 3.9 4. 5.4 6.187．解 ∵0<x<2，-3-\n∴0<3x<6,8－3x>2>0，∴y＝≤＝＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．∴当x＝时，y＝有最大值4.8．解 设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．9．3 10.①④ 11.812．解 ∵＋＝3，∴＝1.∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×＝≥＝.当且仅当＝，即y＝2x时，取“＝”．又∵＋＝3，∴x＝，y＝.∴2x＋y的最小值为.13．解 (1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.方法一 由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤，-3-\n当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝(6－y)·y.∵0<y<6，∴6－y>0，∴S≤·2＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.方法一 ∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由 解得故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．方法二 由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．-3-
