§3.2 导数的运算3．2.1 常见函数的导数一、基础过关1．下列结论中正确的个数为________．①f(x)＝ln2，则f′(x)＝；②f(x)＝，则f′(3)＝－；③f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln2；④f(x)＝log2x，则f′(x)＝.2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于________．4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有________条．5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．7．求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sin.二、能力提升8．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.9．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为________．10．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.11．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．-4-\n三、探究与拓展13．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2012(x)．-4-\n答案1．32.或3．44．25．10ln106．－7．解 (1)y′＝(x)′＝′＝x－1＝.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝′＝x－1＝x－＝.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.(5)∵y＝－2sin＝2sin＝2sincos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.8．649．e10．ln2－111．解 ∵y＝，∴y′＝()′＝′＝x－，-4-\n∴在P(8,4)处曲线的切线斜率k＝×8－＝.∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0.12．解 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率k＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.13．解 f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，∴f2012(x)＝f0(x)＝sinx.-4-
