§2.5 圆锥曲线的统一定义一、基础过关1．双曲线x2－y2＝1的准线方程为__________．2．＋＝1上的点到左准线的距离是4.5，则该点到右准线的距离是________．3．中心在原点，准线方程为y＝±4，离心率为的椭圆的标准方程是________________．4．抛物线y2－2x＝0的准线方程为__________．5．椭圆＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1＝3PF2，则P点到左准线的距离是________．6．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．7．点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数，求点M的轨迹．二、能力提升8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点．设FA>FB，则＝________.9．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且B＝2F，则C的离心率为________．10．在双曲线－＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．11．在抛物线y2＝2x和定点A，抛物线上有动点P，P到定点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标．12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．三、探究与拓展13.-4-\n如图所示，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4,0)，过点F2作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1B＋F2B＝10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标．-4-\n答案1．x＝± 2．83．＋＝1 4．x＝－5．66．y2＝4x7．解 如图，设d是点M到直线l：x＝的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合P＝{M|＝}，由此得＝.将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，即＋＝1.所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．8．39．10．解 设P点的坐标为(x，y)，F1，F2分别为双曲线的左，右焦点．∵双曲线的准线方程为x＝±，∴＝.∵PF1＝2PF2，∴P在双曲线的右支上．∴＝，∴x＝.把x＝代入方程－＝1，得y＝±.∴P点的坐标为.11．解 如图所示，点A在抛物线y2＝2x的外部由抛物线的定义可知，d1＋d2＝PA＋-4-\nPF≥AF＝(其中F为抛物线的焦点)显然A、P、F三点共线时，d1＋d2最小，最小值为.直线FA的方程为4x－3y－2＝0.由得，此时P点的坐标为(2,2)．12．解 (1)由e＝＝＝，得＝.又由原点到直线y＝x＋2的距离等于圆的半径，得b＝，a＝.(2)方法一 由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由MF1＝MP，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.此轨迹是抛物线．方法二 因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以MF1＝MP，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.13．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a＝F1B＋F2B＝10，得a＝5，又c＝4，所以b＝＝3.故椭圆方程为＋＝1.(2)由点B(4，yB)在椭圆上，得F2B＝yB＝.因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为，根据椭圆定义，有F2A＝，F2C＝，由F2A、F2B、F2C成等差数列，得＋＝2×，由此得出x1＋x2＝8.设弦AC的中点为P(x0，y0)，-4-
