3.3.3 最大值与最小值一、基础过关1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________.2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．3．函数y＝的最大值为________．4．函数f(x)＝xex的最小值为________．5．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于________．6．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．7．求函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的最大值与最小值．二、能力提升8．函数y＝的值域为________．9．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．10．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．-3-\n答案1．10 22．23．e－14．－5．－6．[－4，－2]7．解 因为f(x)＝x3－4x＋4，所以f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2(舍去)．又由于f(0)＝4，f(3)＝1，f(2)＝－，因此，函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－.8．[－2,2]9.10．(－∞，2ln2－2]11．解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x－2(－2，0)0(0,2)2f′(x)＋0－0f(x)－40＋a极大值a－8＋a∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.当x＝0时，f(x)最大值为3.12．解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．∴，∴.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9.当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：-3-\nx(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值c＋5极小值c－27而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．13．解 (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.-3-
