§2.6 曲线与方程2．6.1 曲线与方程一、基础过关1．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为___________________________________．2．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，当P(1，－1)，则点P与l、C的关系是____________．3．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的____________条件．4．下列命题正确的是________(填序号)．①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；③曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.5．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是______(填序号)．6．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是____________．7．若方程ax2＋by＝4的曲线经过点A(0,2)和B，则a＝________，b＝________.二、能力提升8．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________(填序号)．①y＝x与y＝②(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0③y＝与xy＝1④y＝lgx2与y＝2lgx9．方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为________．10．(1)方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？11．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－2，2)是否在这个圆上．-4-\n三、探究与拓展12．已知两点A(0,1)，B(1,0)，且MA＝2MB，求证：点M的轨迹方程为2＋2＝.-4-\n答案1．一条射线2．P∉l，P∈C3．必要不充分4．③ 5．③ 6．7．16－8 2 8．③ 9．210．解 (1)由方程(x＋y－1)＝0可得或.即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．(2)方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴， ∴，∴方程表示的图形是点A(1，－1)．11．解 ①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，两边开方取算术平方根，得＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由①、②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－2，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．12．证明 设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式，得MA＝，MB＝又∵MA＝2MB，∴＝2.两边平方，并整理得3x2＋3y2＋2y－8x＋3＝0，即2＋2＝①所以轨迹上的每一点的坐标都是方程①的解；设M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，即2＋2＝.即3x＋3y－8x1＋2y1＋3＝0，M1A＝＝＝＝2＝2M1B，即点M1(x1，y1)在符合条件的曲线上．综上可知，点M的轨迹方程为-4-\n2＋2＝.-4-
