2.3.2 方差与标准差一、基础过关1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________．2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是________．①众数 ②平均数 ③中位数 ④标准差3．下表是某班50名学生综合能力测试的成绩分布表，则该班成绩的方差为________.分数12345人数510102054.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差上面说法正确的是________．5．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.6．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为，方差为0.21，则数据a1，a2，…，a20，这21个数据的方差为________．7．(1)已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，xn－2的方差；(2)设一组数据x1，x2，…，xn的标准差为sx，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的标准差为sy，求sx与sy的关系．8．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？-6-\n(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？二、能力提升9．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本方差分别为s和s，则A与B，s与s的大小关系分别为________．10.如图是2022年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为________．11．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)12．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)请填写表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．三、探究与拓展13．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量组别 平均成绩标准差第一组906-6-\n第二组804求全班学生的平均成绩和标准差．-6-\n答案1．2．④3．1.364．③④5．916．0.27．解 (1)设x1，x2，…，xn的平均数为，则有：a＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．∵x1－2，x2－2，…，xn－2的平均数为－2，则这组数据的方差s2＝＝＝a.(2)设x1，x2，…，xn的平均数为，则3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为3＋a.sy＝＝＝＝＝3sx，∴sy＝3sx.8．解 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)甲＝＝33.乙＝＝33.s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．9.A<B，s>s10．85,1.611．1,1,3,312．解 由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为-6-\n9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝＝7(环)，乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝＝7(环)，s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.根据以上的分析与计算填表如下：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲71.271乙75.47.53(2)①∵平均数相同，s<s，∴甲的成绩比乙稳定．②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．13．解 设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，依题意有：＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，故全班平均成绩为：-6-\n(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)＝(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s＝(x＋x＋…＋x－202)，s＝(y＋y＋…＋y－202)(此处，＝90，＝80)，又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为(＝85)，故有s2＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402)＝(20s＋202＋20s＋202－402)＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.即s＝.所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为.-6-
