2.4.2 抛物线的几何性质(二)一、基础过关1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．2．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则OA的长度为________．4．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是__________．5．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是________cm.6．点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于，则这样的点P的个数为________．7．根据条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x＋y＋2＝0上；(2)抛物线的顶点在原点，焦点是圆x2＋y2－4x＝0的圆心．二、能力提升8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则AB与CD的大小关系是____________．9．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则PQ的最小值是________．10．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，BF＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝________.11．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上．又知此抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A、B，且AB-5-\n中点横坐标为2，求k的值．12．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．三、探究与拓展13．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．(1)直线l的斜率为，求证：·＝0；(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFB与kFA之间的关系并说明理由．-5-\n答案1．22.3.p4．x2＝2y－15．5.6256．37．解 (1)直线x＋y＋2＝0与x，y轴的交点坐标分别为(－2，0)和(0，－2)，所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)，由－＝－2，得p＝4，所以所求抛物线的方程为y2＝－8x或x2＝－8y.(2)圆x2＋y2－4x＝0的圆心为(2,0)，故抛物线方程的形式为y2＝2px(p>0)．由＝2得p＝4，所以所求抛物线方程为y2＝8x.8．AB>CD9.－110.11．解 (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，∵A(1，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离．∴1＋＝3，∴p＝4.∴此抛物线的方程为y2＝8x.(2)由，消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A、B，则有，解得k>－1且k≠0.又∵x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)．∴所求k的值为2.12．(1)解 由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x-5-\n，消去x，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明 设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．13．(1)证明 ∵Q，∴直线l的方程为y＝，由.消去x得y2－2py＋p2＝0.解得A，B.而F，故＝((1＋)p，(1＋)p)，＝((1－)p，(－1)p)，∴·＝－p2＋p2＝0.(2)解 kFA＝－kFB或kFA＋kFB＝0.因直线l与抛物线交于A、B两点，故直线l方程：y＝k(k≠0)．由，-5-\n消去x得ky2－2py＋kp2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝p2.kFA＝，kFB＝，∴kFA＝＝＝＝－kFB.-5-
