2.4.2 抛物线的几何性质(一)一、基础过关1．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且AB＝1，则A的横坐标的值为________．2．以x轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为______________．3．经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则的值是________．4．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1＝____________.5．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是________．6.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1＋x2＝6，则AB＝________.二、能力提升8．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.9．已知△ABC的三个顶点都在y2＝32x上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率是________．10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．11．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线．求抛物线的方程．12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．-4-\n三、探究与拓展13．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．-4-\n答案1．02．y2＝8x或y2＝－8x3．－44．90°5．4p26．y2＝3x7．88．29．－410．解 如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0.整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2.由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，∴y1＝x1.与y＝2px1联立，解得y1＝2p，∴AB＝2y1＝4p.11．解 画图可知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ky＋m，由消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－2pm，由已知条件知|y1|·|y2|＝2m，从而p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.12．解 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，-4-\n所以x1＋x2＝，由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，抛物线方程为y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0，化简得x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(1＋4λ，－2＋4λ)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．证明 如图所示．(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程：x＝－.设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，∴x1x2＝·＝＝＝.(2)设AB中点为C(x0，y0)，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.则|CC1|＝·(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝·|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．-4-
