§2.4 抛物线2．4.1 抛物线的标准方程一、基础过关1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是__________．2．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为________．4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．5．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．6．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为________．7．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是__________．二、能力提升8．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆的圆心的轨迹方程为____________．9．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么PF＝________.10．求经过A(－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．11．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．12．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为其焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求PB＋PF的最小值．三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AF＋BF＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．-3-\n答案1．(－2,0)2．y＝33．y2＝±8x4．25．y2＝16x6．17．(2，＋∞)8．y2＝20x或y＝0(x<0)9.810．解 由已知设抛物线的标准方程是x2＝－2py(p>0)或y2＝－2px(p>0)．把A(－2，－4)，代入x2＝－2py或y2＝－2px得p＝或p＝4.故所求的抛物线的标准方程是x2＝－y或y2＝－8x.当抛物线方程是x2＝－y时，焦点坐标是F，准线方程是y＝；当抛物线方程是y2＝－8x时，焦点坐标是F(－2,0)，准线方程是x＝2.11．解 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为··＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.12．解 (1)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.∵点P到准线x＝－1的距离等于P到焦点F(1,0)的距离，∴问题转化为：求点P到A(－1,1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和的最小值．显然，当P是A，F的连线与抛物线的交点时，所求的距离之和最小，为AF＝.(2)同理(1)，PF等于点P到准线x＝－1的距离，∴PB＋PF等于点P到点B的距离与点P到直线x＝－1的距离之和，其最小值为点B到直线x＝－1的距离为4，即PB＋PF的最小值为4.13．解 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，-3-\n∵AF＋BF＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴QA＝QB，即＝，又y＝2px1，y＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x.-3-
